CHAPITRE IV. — DES GOURB|S RÉSULTANT, ETC. 3o

d'après lesquelles Téquation (T) devient

^ ^ ^..vV^vC^> ~"ACt.BA,.CB,*

De là on déduit lé théorème suivant : *

Théorème. — Les séries des courbes (s) et {a) déterminent, la première sur le triangle AiBtCt, et la seconde sur le triant gle ABC, six segments qui sont tels que le rapport du produit de trois segments non contigus au produit des trois autres segments dans le premier triangle est égal au rapport analogue dans le second.

Il est aisé de voir que l'analyse précédente s'applique à un polygone quelconque dont les côtés sont tangents chacun à une courbe d'une série (o*), tandis que les sommets reposent chacun sur une des courbes d'une autre série [s).

Théorème. — Si un polygone de n côtés est tel que ses côtés soient tangents chacun à une courbe d'une série (cr) de n courbes, tandis que les sommets sont situés chacun sur une courbe d'une autre série (s) de n courbes, en menant les tangentes aux courbes de la série [s) aux sommets du polygone, on forme un second polygone qui est tel que les séries des courbes [s) et (a) déterminent, la première sur le polygone Ai Bi Ct Dt..., et la seconde sur le polygone ABCD. . .,2/1 segments qui sont tels que le rapport du produit des segments non contigus au produit des autres segments dans le premier polygone est égal au rapport analogue dans le second.

Appelons a, b, c les côtés du triangle ABC opposés aux angles A, B, C, et A^ Bi, Ci les angles du triangle Ai BiCt; la formule (5) peut être mise sous la forme suivante :

,.. ^ ^••'R, 2SÎnCi N.,M*) sinC

wjv/) sina,sina^;^ N, R2 sina^,^) sin«(^>

Représentons par ri, r,; r(0, r^^'); r^f^, rC') les segments AB», ACi; BAi, BCi; CB», CAi, et par la lettre (3 affectée des mêmes indices les angles que ces segments font avec les tangentes

3o6 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

aux courbes décrites par les sommets Ai, Bi, Ci, courbes que nous représentons par 2, 2i, 2s. Soient £, E., £2 les angles que ces tangentes font avec Taxe fixe de la question, on aura, en rapportant les courbes (s) aux courbes [Z] correspondantes, d^s équations analogues à celles de la série (S) du n*'14'i', que nous représenterons par (2). Cela posé, l'équation (T') peut s'écrire sous la forme suivante :

DifTérentions cette équation; on déduit des équations de la série (S) trois couples de formules analogues au suivant :

dx^l^ a,

cosa^*)

cosaî'^

v'^^^ds, v^^N^»^

et des équations de la série (2) trois couples d'équations analogues au suivant :

—7- = îT cotPi, -T^r^ — — — — cotpV>;

or, si l'on porte ces valeurs dans l'équation différentielle de l'équation (T*) qui est

V^ / dv2 dx^x j^ \vs ds vi ds