CHAPITRE lY. — DBS COURBES RIËSULTANT, ETC. SoQ

D'après la formule (5) du n^ 115, on a la relation

siny.N, ti

/ I I \ . ,TWT siny.N,

-n^ i^r I sin^'Nt ^, = — =5-^

et, si Ton remarque que 5'N, = 5N, — w', Téqualion précédente deviendra

w' ff, N, sin(7',Ni/i ^^' 5N,— 5^ 7n7"" sins'N,/, '

De même la courbe lieu des points N3 donnera la relation analogue

w' g^Na sin g-'a Na ^ 2

et, en divisant Tune par l'autre, on aura Téquation 5N2— w' 5Nj__(y'jNj sin(y',Ni^.sin5'Nj/a

s^x — ss' 5N, (j'.N, sintTjNî/a.sins'N,^,'

or le second membre de cette équation est donné par Téquation (i) au moyen des éléments de la question, c'est-à-dire au moyen des éléments de toutes les courbes connues moins la

courbe s. En représentant par ^r la valeur que l'on en déduit

pour ce second membre, l'équation (3) donnera la valeur de ss'

55' étant connu, le centre de courbure sf de la courbe 5 est déterminé : ce qu'il fallait trouver.

Mais l'analyse précédente donne aussi un moyen de déterminer les tangentes ty et U des courbes décrites par les points N, et N2. En effet les équations (2) et { 2' ) du présent numéro, dans lesquelles on porterait la valeur de ssf que nous venons de trouver feraient connaître les rapports des sinus qui déterminent les tangentes de ces deux courbes. Ainsi, lorsque la courbe s est inconnue, les courbes décrites par les points N|

3lO LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES STSTitMESt ETC.

et Ns sont aussi inconnues, et la détermination des tangentes à ces deux courbes dépend de la détermination de la tangente à la courbe s et de son centre de courbure.

Deuxième cas. — Toutes les courbes sont connues, à l'exception de la courbe 0-3 enveloppée par le côté AB.

Point de contact. — L'équation (T) fait connaître le rapport de x^ à v^i\ c'esl-à-dire de sdt à «lO-j, puisque tous les autres segments et tous les angles sont connus ; la question est donc ramenée à partager une ligne 5^1 et deux segments proportionnels à deux lignes de grandeur et de signe donnés.

Rayon de courbure. — - Dans le cas actuel, 0-2 étant la courbe inconnue, les deux courbes décrites. Tune par N, et l'autre par N',, sont aussi inconnues; la détermination du point de contact (Tj fait connaître les points N, et N^,'^; cela posé, on a, relativement aux courbes s et 5,, l'équation (2') et la suivante :

.^., __i^t cr;N(/)sincr ;N(')/V)

^ • ^ 5. NV> - 5. s\ s, NV^ ~ s\ns\ NV^^(;î '

Si Ton porte les rapports des sinus tirés des équations ( 1 )

et (2") dans l'équation (i), cette équation fera connaître le

p(i) rapport des segments N^/^d',, Nja,; si Ton représente par -~-

ce rapport, l'équation

fera connaître le point <7j par la division de la ligne NjN^/^ dans un rapport donné; le centre de courbure de la ligne Ca est donc connu. Les deux segments N^/^o-'a, Nio-'a étant connus, les équations (2') et (2") donneront les rapports des sinus, et par conséquent les directions des tangentes aux points W^\ Na aux courbes dt^^^\ dt^. c. q. f. t.

§ IL — Applications.

14>7. Problème V. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème IV, les côtés du triangle ABC satisfont à