I ) : — ZZZ I

sina, sina'i'^ sina^*^ *

trouver les relations qui existent entre les tangentes et les rayons de courbure des courbes de la série [s) et delà série [a). Tangentes, — Si Ton prend la différentielle logarithmique de réquaiion (T) du n** 144 et qu'on représente par T^,, T« les deux membres, on a

or la difiérentielle logarithmique de l'équation (i) du présent numéro donne T« nul; donc Téquation précédente se partage en deux, qui sont

La première de ces équations équivaut à la suivante :

il') 11. — ,

Lorsque l'une des courbes de la série [s) est inconnue, réquatîon (i) fait connaître la direction de la tangente à cette courbe, et lorsque la courbe inconnue est une de celles de la série (o-), Téquation (i') fait connaître le point de contact.

Rayons de courbure. — Si l'on a égard aux équations de la série {*), les équations (2) se transforment; or, en reprenant les calculs du n^ 144, on reconnaît que l'expression de 6s de réquation (5) de ce numéro se compose de deux parties, l'une relative à l'équation T^ et l'autre relative à l'équation T,; en

représentant par G^,*'^ S^,*^ ces deux parties, on aura

sin[a, — a^/^ sinasSinaV^

(4) GC) = sin[a.-4')] ^ N.N(0 sin[a(»)-a(-)]

sina,sina^/) N1R2 sina\*îsina(=») ' et, par' conséquent, l'équation (6) du même numéro se par-

3l2 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

tage en deux, qui sont

Si l*on prend fa différence de ces deux équations, on trouve la relation suivante :

I ifi il N,Ny sin[«(')-«^.')] ;

N,N(;'^|L^» ^'i\\ N.R, sina^sina^'M'

, . I . !(rj ^la^__NCON, Sin(a.-^a0 >

Wi ^"^N(')N,|L^c> v<»J N(/)R sina^sina. (

"^ N. N^/) I U\^> t.(»)J ' N(^)R. sina(»^sina(/))"~'^'

laquelle donne un des rayons de courbure des courbes (5) ou (<7) lorsque les autres sont connus.

On déduit de celte équation le théorème suivant, qui n'a pas encore été remarqué par les géomètres :

Théorème L — Lorsque les sommets d'un polygone parcourent des courbes (s) et que ses côtés enveloppent d'autres courbes [a); si, de plus, les angles que ces côtés forment avec les tangentes aux courbes (s) correspondantes satisfont à la relation (1), les rayons de courbure des courbes de la série (c) et les courbures des courbes de la série (s) sont liés entre eux par une relation linéaire et homogène.

Comme, d'après le théorème de Carnot, la relation (i) existe lorsque les courbes [s) sont des arcs d'une même conique^ on en déduit aussi le théorème suivant :

Théorème II. — Lorsque les côtés d'un polygone enveloppent des arcs d*une même conique, les rayons de courbure de ces arcs aux points de contact et les courbures des courbes parcourues par les sommets sont liés par une relation linéaire et homogène.