CHAPITRE IV. — DES COURBES RÉSULTANT, ETC. 3l

i 148. Problème VI. — Étant données les mêmes conditions

que dans le problème V, les courbes ( s) sont des droites (fig, Sg) Bi Ct, Bi Al, Al B et deux des courbes enveloppes (a) sont con--

nues; déterminer la troisième,

* Soient Ci, o-, les deux courbes connues, données par leurs

équations naturelles; si nous conservons les mêmes notations

que dans le n*» 144 et qu'on introduise la condition que les

courbures ij^ ir' ir sont nulles, les équalions (S) du n** 144

MX .JKi ÏXi

deviendront

! sma, sma, sma^'^ sma^*^

^. , t<')rfg JOrfe, rfW'^sinaW] rf(t,,sina,) ,, p.

sma<*^ sinaV^ sina\*^ sma,

sina^,*J sina(*^. sinaa sina^j'^

auxquelles il faut joindre la relation

sinaj sina^'^ sina^,=*^ sina, sina^a'^ sina^^^ et les équations naturelles des deux courbes <7i, <73, qui sont

fi;s d<Jx d(Ti , .

Si Ton porte ces valeurs de rfo-,, rfo-j dans les équations (2) et (3) qui contiennent ces éléments, et que Ton ait égard aux troisièmes équations des trois séries {S|) du n® 144, on obtiendra ^^,'\ V, en fonction de Si et t,2, 4'^ en fonction de e^. Si Ton se porte au triangle ABC, les trois côtés de ce triangle sont

d*après ce que nous venons de dire, le premier est une fonction de £2 et le dernier une fonction de 61, que nous représentons par/a (g,), /.(e,); or, si Ton considère le triangle A, B» Ci

3l4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES STSTfeKBSy ETC.

dont les trois côtés sont connus et représentés par a, b, c, en remarquant que chacun de ces côtés, par exemple le côté Bi Cl, est la somme de deux segments Bi A et ACi, on obtiendra les trois équations suivantes :

sinfe, ~-^,) ^. . . sînfe,— ^,) ^, .

^^ sinB. ■^■^^■)- sinC. f'^''^'

las k s\n{t. — e) sin(£ — <?,)r ,,, .,,,

(^^ /= sinC. -^-^^'^-^ sinA, [-^'^ ---']'

c = sin(£--.,) ^„^, sin(e,--é)

smA, ^ ' smB, '' '

Si Ton élimine t,(') — i&(»î entre ces deux dernières équations, on trouve la relation

/ r, sîn(e2 — ^^ j^, ^ ' , \

! =V^ SinB. /'(^')Jsm(.6~aO.

La première des équations (6) et cette dernière font connaître £3» e. en fonction de e; par conséquent les premières des équations (2) et (3) donnent J*) et t^*^ en fonction de cette dernière variable; on a donc les rayons tangentiels de la courbe inconnue o-.

Si dans Téquation de la série (i)qui contient d(j on a égard aux valeurs de t.(') et de «^(^^ de es» ei en fonction de e que nous venons de trouver, on obtiendra rfo- en fonction de cette dernière variable; on aura donc Téquation naturelle du lieu cherché.

Il est bon de remarquer que le calcul de v^'^ et v(*î peut se faire aussi de la manière suivante : Téquation (4) donne le rapport

de -7^ en fonction de e. et par conséquent en fonction de e;

soit donc ce rapport

comme, par suite des deux dernières des équations (6), on a