CHAPITRE y. — DBS COURBES CONJUGUÉES, ETC

des trianghs rectangles construits sur ces longueurs et les sous^normales correspondantes est toujours nulle.

153. Problème II. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent, trousser la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des n courbés.

Prenons la différentielle de Téquation (n) et éliminons lesc/r au moyen des équations renfermées dans le type fourni par la troisième des équations (2), et les da au moyen de celles fournies par le type (4)» on aura l'équation

,rfF ^

(^ y i> - — > rjcoiocj cotai -T- r,-^ -+-\ -:--—,

' ^Rsm-ai Zd drj\ dnl ZLi sin^g.

dans laquelle les indices 1 et j prennent toutes les valeurs, depuis I jusqu'à n.

Si F est une fonction telle que sa dérivée par rapport à Tune quelconque des variables r soit fonction de cette variable seule, les indices 1 et j sont les mêmes, et, par conséquent, on peut les supprimer; l'équation (R) peut donc s'écrire sous^l'une des formes suivantes :

rfF

r^ ' '- ^ dV

'Tr

«■) 1^-^,-1-^" jyiyi

^^^ Z^Rsin^a^ZrfSin^'a r/r V dr J 2à^dr\dr)'

Si par le pied N de la normale on élève une perpendiculaire jusqu'à la rencontre en n du rayon vecteur, on aura

o-' Si^.=2«"^,('f)-S-

dr

L'une des formules précédentes fait connaître la loi d'après laquelle les rayons <fe courbure des n courbes sont conjugués.

322 LITRE II. — qOURBES RAPPORTÉES À DES SYSTÈMES, ETC.

15fc. Transformation géométrique des formules précédentes. — Soient (Jig. 62) » le point pris sur le rayon qui se projette

en N sur la normale, p la projection du centre de courbure sur le rayon vecteur et At^ la troisième proportionnelle à AN et Ap, on aura

4 AN ^ .,4 f*

Kx.z=i——, — 5 0/i = rcot'a, A/i =: . , ; Ksina sin'a

donc, en ayant égard à ces équations, les formules (R), (R'), (R") prennent la forme

les deux premières peuvent s'écrire sous les formes binômes suivantes, où les traits supérieurs désignent des segments :