CHAPITRE Y. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC
Une quelconque de ces formules permettra de construire géométriquement le segment A t. de la /i"'"* courbe lorsque les autres courbes seront connues, et de là on déduira le rayon de courbure de la n'*'"* courbe qui sera AR.
Corollaire général. — Toute l'analyse précédente existe lorsque les rayons vecteurs sont comptés sur les génératrices d'une surface conique quelconque ^ partir du sommet de ce cône, et que les n courbes données sont des courbes situées sur cette surface; la seule différence à signaler est que les rayons de courbure des courbes planes deviennent les rayons de courbure géodésique des courbes coniques par rapport au cône qui les contient.
155. Formes particulières de la fonction F . — i** Si la fonction est une somme de fonctions ne dépendant chacune que d'un seul rayon vecteur, on aura
(r) Fr^.29(r) = a;
réquation {n) devient
[n] 2r9'(r)cota ~ o,
et les équations (R'), (R") deviendront
"'•!SSâ=Sin:5.-.i^-''(')i-2'st'»'<')i.
2® Si la fonction F est homogène du degré m, on aura
/nF=> r-r- = ma,
et, par suite, Téquation [R'] prendra la forme
,rfF
1 R^ÎH^ ^Z '^ '^'^^ '^'"' dFj V^ dFj
V dF
-t- > COt*a,r, -j- -H ma.
S"" Si F étant homogène est de la forme 29 (r), l'équation (R ) devient
que l'on peut écrire sous la forme suivante :
YN'f (r) Y ON d r.,,.. ^ ^„
Ces différentes expressions nous serviront à résoudre quelques questions inverses de celles que nous venons de poser.
156. Cas particuliers, — Premier exemple. — Soit la forme de F donnée par Téq nation
(r) F = V, C^-hVaV^'-f-. . . = lvr'^ = ay
dans laquelle les v sont des constantes différentes entre elles, ainsi que les m; on obtiendra, d'après le n* 152 et le n® 153, les équations suivantes :
(n') l/nvr^cota^o, Z/nvON.r^-'r^io;
> rr — 7—;- = > mv(m -f-Or^cot^a -h > mvr*
i Vwv(/n -f-i]r" V' •
f => . , ^ \m^vr^.
\ Là sin'a . Là
Les équations (t.) du n® ISi deviennent
(v) S/ivmvr*"-' =r 20/im*vr'"~', 2/nv(wt' — mb«)r'"~' rr::.o;
conséquemment on obtient
\ Ovmvr'""'^^ pr-T- m(m -f- i)vr"' I® Soient les constantes m égries entre elles et ayant — i
GHAPITRK T. ^ DES COURBES CONJUGUÉES» ETC. SsS
pour valeur commune» Téquation ( n! ) devient Soit T {Jig,6Z) l'intersection d'une tangente quelconque
Fig. 63.
avec la perpendiculaire au rayon vecteur» pn a
OA
QTjp = cota ;
par suite l'équation (n") prend la forme
ZdOT
Donc la tangente à la m'*"^ courbe est donnée par la division harmonique.
La formule (R) du présent numéro» en y remplaçant a par -9
devient
^ R sin*a "~" a
Si Ton projette le centre de courbure d'une courbe sur le rayon vecteur, cette projection sur le rayon de courbure et cette dernière projection sur le rayon vecteur» en appelant P cette projection» on a
Donc le rayon de courbure d*une courbe, lorsque les rayons de courbure des autres courbes sont connus, se construit par les moyennes harmoniques.
Si n — I courbes sont des droites, Téquation précédente donne
P —-va;
donc la /i""" courbe est telle que la troisième des projections successives du rayon de courbure sur la direction du rayon vecteur est constante.
Si a est nul, la V»"* courbe est une droite.
157. Cas où les constantes sont égales à l'unité. — 2? Si les constantes v et m ont la même valeur commune égale à i, on a
F^lr=a.
Pour réaliser la liaison des rayons vecteurs d'après la loi actuelle, il suffît de concevoir une règle rectiligne Om tournant autour d'un point fîxe 0, et n points Ai, A3, A3,..., An assujettis à glisser sur cette règle, et dont les /i —- 1 premiers sont de plus assujettis à glisser sur n — i courbes; si Ton conçoit un fil de longueur constante fixé en par une de ses extrémitéSy s'enroulant autour du premier point et de 0, autour du second point et de 0, et ainsi de suite jusqu'au /i'*'"* point, et fixé finalement par sa seconde extrémité en 0; si une force exercée sur le /i'*'"* point tient ce fil constamment tendu pendant que la règle tourne autour de 0, la courbe décrite par le f^iime point A„ sera conjuguée des n — i courbes données d'après la loi
on a les équations
(n) 2rcota — o, 20N — o;-
donc la somme algébrique des sous-normales est nulle, ou, ce qui est la même chose, le centre des moyennes distances des extrémités des normales par rapport au pôle coïncide avec ce pôle.
