CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

et AV, nous aurons la relation

2AX = o,

ce qui démontre que, si l'on projette toutes les longueurs telles que AX sur ON, la somme des segments positifs sera égale à la somme des segments négatifs.

Cela donne la construction du rayon de courbure d'une courbe lorsque Ton connaît les tangentes et les rayons de courbure des autres courbes.

Si toutes les courbes moins la n*^^ sont des droites, on aura l'équation

R„ sin^ûCn ^^ sin'a

161. Problème III. — Quelle doit être la forme de la fonction 9 de r équation [R] du n° 155, dans laquelle F est homogènCy pour que les rayons de courbure soient conjugués entre eux d'après la loi

^Ksin^fl

L'équation [R] du n® 155 montre qu'on satisfait à cette relation si chacune des fonctions 9 satisfait à l'équation de la forme

-[r^cp'(r)]::=o;

de là on déduit, A* et / étant des constantes, les équations

r'(p'{r)=:ky <p(r)zzr— -. 4-/;

donc il ne faut conserver que le premier terme, parce que la fonction 9 doit être homogène.

Problème IV. — Quelle doit être la forme de la fonction 9, monôme du degré m, pour que les rayons de courbure soient conjugués entre eux d'après la loi

Zi K sin'a ~Z^ sin'a dr^ ^ ^ '■■'

OU bien d'après la loi

Z^^VRsin»a r)"'''

dans laquelle les coefficients C sont constants,

I® Remarquons que Téquation [R'] du n" 155 peut s'écrire, en observant que a =:2(p(r), sous la forme suivante :

(SK^=Sl-it'V(.'l*»"<"

il faudra donc que chacune des fonctions 9 satisfasse à l'équation donnée par le type

Cette équation différentielle est du second ordre; on l'intégrera si l'on pose <^(r)^=r''y n étant une arbitraire qu'il faut déterminer, de manière que l'équation précédente soit satisfaite; la condition à laquelle on arrive est

d'où l'on tire

I=izi/l -h i'W

l'intégrale générale sera donc, A et R étant les constantes arbitraires introduites par l'intégration,

9(r)r=:: Ar ^ ^^ 4.. Br » *

ou bien, en posant \/n- 4'^= 2Ar,

Ar*-4-Rr-*

Sl'r