CHAPITRE V. — DES GOUEBBS CONJUGUÉES, ETC

163. Principes de transformation. — i*» Deux courbes transformées l'une de l'autre font, avec le rayon vecteur en leurs points transformés, des angles supplémentaires, situés dans un même plan passant par l'origine et les deux tangentes en ces points.

En effet, dans le cas de deux courbes C et C, la formule {n) du n® 160 donne

cota -r- cota' — o;

donc les deux angles a et a! sont supplémentaires.

2<* Les tangentes aux deux courbes en leurs points réciproques se rencontrent en un point qui appartient au plan normal au rayon vecteur au point qui divise en deux parties égales le segment terminé par les deux points réciproques. Les plans normaux à ces deux courbes se coupent sur le même plan.

3^ Les plans tangents à deux surfaces réciproques en leurs points réciproques se coupent sur le plan normal au milieu du segment qui joint ces deux points. Les normales se coupent sur le même plan.

4^* Si deux courbes Ci, G se coupent sous un angle, les transformées de ces courbes se couperont sous le même angle. En effet, les trièdres formés aux points d'intersection par les tangentes aux courbes et le rayon vecteur sont symétriques (i*»).

5® Si deux surfaces Si, Si se coupent sous un angle, les transformées de ces surfaces se couperont sous le même angle. En effet, en menant en deux points réciproques des intersections des éléments normaux à ces intersections situées dans les surfaces, etc., ces éléments seront réciproques deux à deux; donc deux éléments qui ont une extrémité commune formeront un angle égal à celui des deux autres éléments. Donc, etc.

&" Les lignes de courbure d'une surface ont pour transformées les lignes de courbure de la surface transformée (5**).

7° Si une courbe est plane, sa transformée n'est pas plane. Cela résulte de (2<>).

8"* La transformée d'une droite est un cercle situé dans le

plan du pôle et de la droite ; ce cercle passe par ce pôle et est tangent à la parallèle menée du pôle à la droite donnée.

En effet, si Ton opère dans le plan du pôle et de la droite, on a par suite de la formule (R) du n^ 160, dans le cas de deux courbes situées dans ce plan, la formule

or, si l'une de ces courbes G est une droite, son rayon de courbure est infini, et, conséquemment,

Donc la courbe C rapportée au pôle O est telle que le rayon de courbure est moitié de la normale; elle est donc un cercle passant par le point 0. Donc le diamètre de ce cercle et la perpendiculaire à la droite sont réciproques.

g** La transformée d'un plan est une sphère passant par le pôle et tangente en ce point à un pian parallèle au plan donné : cela résulte de (8°). Le diamètre et la perpendiculaire au plan sont réciproques.

io<* La transformée d'un cercle situé dans un plan qui passe par le pôle est un cercle situé dans le même plan, ces deux cercles ayant pour tangentes communes deux droites issues du point 0.

En effet la formule (R) du n"" 160 peut s'écrire sous la forme

or, si la première courbe est un cercle tel que la distance de son centre à l'origine est A, le triangle OCM donne

A^ = r2-h R2— 2rRsinrf/5; éliminant le sinus entre ces deux équations, on obtient

R' '^ rr' rr'R~'rr'\ H )'