CHAPITRE y. — DBS COURBES CONJUGUÉES, ETC

elle second membre est constant^ puisque rr' = a^. Donc, etc. La seconde partie de renoncé est évidente.

1 1^ La transformée d'une sphère est une sphère, et ces deux sphères sont inscrites dans le cône qui a son sommet au pôle. Cela résulte de (io°). Si deux sphères passent, la première par quatre points et la seconde par quatre points réciproques, elles sont réciproques. Étant donnés une sphère et un point de la sphère réciproque, il est facile de construire cette sphère.

la^" La transformée d'un cercle quelconque est un autre cercle. En effet, le cercle C peut être considéré comme l'intersection de deux sphères s, St. Donc la courbe C sera l'intersection des deux sphères transformées s', s\ . Donc, etc.

i3® Les deux cercles C, C sont donnés par deux sections antiparallèles de la surface conique qui passe par le pôle et l'un de ces cercles.

£n effet,. le plan du cercle C est perpendiculaire à un plan diamétral OMN de ce cône; les deux sphères^ et Si du numéro précédent sont perpendiculaires à ce plan. Donc (5®) les sphères transformées coupent le même plan orthogonalement, et, par suite, le plan du cercle C est perpendiculaire au même plan diamétral. Donc, etc.

i4® Les deux cercles C, G réciproques se trouvent sur une même sphère dont le centre est situé sur le plan diamétral perpendiculaire aux plans de ces cercles (i3^).

i5^ Les cercles osculateurs de deux courbes réciproques C et C en deux points réciproques sont réciproques. En effet, le cercle osculateur de C en un point M passe par trois points infiniment voisins, et le cercle osculateur qui passe par les trois points réciproques de la courbe C est osculateur de cette courbe et réciproque (12^) du premier cercle. Cela donne le cercle osculateur et aussi le plan osculateur de la transformée d'une courbe.

16® Les sphères osculatrices de deux courbes réciproques en deux points réciproques sont réciproques (même démonstration). Ceci donne la sphère osculatrice de la transformée d'une courbe.

17** Trois surfaces passent par le cercle osculateur d'une

courbe : le plan osculateur P, la sphère osculatrice S et la sphère o- qui» passant parle pôle 0, contiendrait ce cercle; les trois surfaces transformées sont P', sphère qui passe par le pôle et le cercle osculateur de la courbe C réciproque de C; la sphère S' réciproque de S, et par conséquent osculatrice de C (lô®), et le plan réciproque de a. Donc on obtient le plan osculateur d'une transformée C en construisant la transformée de 7.

i8** La surface lieu des intersections des plans osculateurs(P) a pour réciproque la surface lieu des intersections des sphères (P'), et. la surface lieu des intersections des sphères (o") a pour réciproque la surface lieu des intersections des plans osculateurs (e/) de la courbe réciproque C.

19^ Les plans normaux (N) à une courbe C ont pour réciproques des sphères (N') normales à C; le lieu des intersections des plans normaux est une surface D qui a pour réciproque une surface D' lieu des intersections des sphères (N').

Le lieu £ des sphères passant par le pôle et coupant orthogonalement la courbe C a pour réciproque le lieu £' des plans normaux de la transformée C.

20^ Une longueur MN qui joint deux points M, N et la longueur M'N' qui joint les deux points réciproques sont entre elles comme le carré du rayon du cercle A est au rectangle des rayons vecteurs OM, ON,

MN a' OM^ON^ M'N'~OM.ON~ a»

' Ce principe permet de passer des propriétés métriques d'une figure aux propriétés métriques correspondantes de la figure réciproque.

21® Si la propriété métrique d'une figure est projective, elle existera aussi pour la figure réciproque.

22® Les distances p^ et p d'un plan à l'origine et à un point sont entre elles comme les carrés du rayon vecteur r' du réciproque du point et de la tangente S' menée par ce point réciproque à la sphère réciproque du plan, de sorte que Ton a