CHAPITRE y. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. SSg

23<'. Les tangentes T« et 6, menées de l'origine et d'un point à une sphère, sont entre elles comme le rayon vecteur du réciproque de ce point est à la tangente menée de ce point réciproque à la sphère réciproque de la sphère donnée.

Ces deux principes permettent d'exprimer la propriété métrique d'un lieu réciproque d'un lieu jouissant d'une propriété métrique connue.

I6&. Transformation des surfaces du second degré homofocales. — Soient trois surfaces du second degré homofocales S, S', S'^; les intersections des deux dernières avec la première déterminent sur celle-ci deux lignes de courbure, de sorte que, si l'on fait varier les axes de ces deux dernières, elles détermineront le réseau complet des lignes de courbure de la première surface. Or sur chacun des axes de celle-ci se trouvent deux sphères doublement tangentes à la surface en deux ombilics, symétriques par rapport à cet axe, et, d'après un théorème que nous avons fait connaître [Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVIII, p. 886; t. LII, p. i i5o), les surfaces du second degré de révolution inscrites ou circonscrites à la fois à deux sphères d'un même couple, déterminent sur la surface S le réseau complet des lignes de courbure.

Prenons maintenant la figure transformée; les trois surfaces 2, 2', I/\ transformées de S, S', S'*, sont du quatrième degré; elles se coupent orthogonalement, et deux d'entre elles déterminent sur la troisième deux lignes de courbure, l'une de la première série et l'autre de la seconde série.

Comme les deux sphères auront pour transformées des sphères et que la surface du second degré de révolution aura pour transformées une surface engendrée par le mouvement d'une sphère de rayon variable, la série des surfaces de cette famille déterminera sur celle des surfaces (1) que l'on considère le réseau complet des lignes de courbure de cette surface.

De plus, comme pour chaque ligne de courbure de la surface S la somme ou la différence des tangentes menées d'un de ses points aux deux sphères d'un couple est constante, sui-

34o LITRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

vant que cette ligne de courbure appartient aux lignes de courbure de la première série ou de la seconde, pour chaque ligne de courbure de la surface 1, la somme ou la différence des tangentes menées d'un de ses points aux deux transformées des sphères (n^ 163) sera proportionnelle à la distance de ce point à un point fixe, suivant que la ligne de courbure appartiendra à la première ou à la seconde série.

165. Transformation du cône du second degré. — Joignons le sommet s du cône au centre de transformation par une droite et faisons passer par cette droite un plan, il coupera le cône suivant deux droites passant par s; ces deux droites se transformeront en cercles passant par et par le point s' réciproque de s, et comme cela a lieu dans toutes les positions du plan et que les deux droites rencontrent tous les cercles des deux sections anti parallèles, lesquels, dans la figure transformée, restent des cercles, il en résulte que la surface transformée du cône est engendrée par un cercle de rayon variable passant par deux points fixes et rencontrant un cercle de grandeur et de position donnée, etc.

Cela posé, si nous inscrivons un trièdre au cône et qu'on représente par p, p., p^ les distances d'un point du cône aux trois faces du trièdre, on a, a, a^, as étant des constantes, la relation

oc ai a*

Donc, si nous considérons trois surfaces sphériques passant par et s^, et qu'on représente par /, ti, U les tangentes menées d'un point de la transformée du cône à ces trois sphères, et par B, B„ Bs trois constantes, on aura, pour la surface transformée, la relation

Si Ton mène un plan tangent à ces trois sphères, en représentant par r, n, Ts les distances d'un point de la courbe d'intersection aux trois points de contact, on aura cette propriété : l'intersection de la surface par un plan est telle, qu'il

GHA.PITEB V. — DBS GOUBBBS CONJUGUÊBS, BTC. 34 1

existe dans ce plan trois pôles par rapport auxquels un point quelconque de la courbe jouit de la relation

Il est inutile de pousser plus loin les applications de ce genre de transformation, qui a été l'objet de nombreuses et intéressantes recherches.

Transformations doubles.

166. Transformation des figures par normales à la sphère réciproques. — Définition. — Soit une sphère dont le centre est en un point donné et dont le rayon est d'une longueur donnée H; si d'un point a appartenant à une Ggure on abaisse une normale à la sphère, elle la rencontre en deux points dia« métralement opposés a, a. ; si l'on choisit sur cette normale un point A satisfaisant à la relation aa x Aa = MS le point A est dit le transformé du point a par normales à la sphère M, réciproques suivant le carré du rayon. Si l'on choisit sur la même normale un second point Ai, satisfaisant à la relation

aai X Al ai = M , le point At sera un second point transformé du point a. Ainsi, dans ce système, chaque point de la figure donnée a deux points correspondants dans la fîgure transformée; c'est pour cela que ce genre de transformation est appelé double. Ces deux points sont dits conjugués entre eux.

Construction des deux points transformés R, Ri d'un point donné r. Si l'on décrit du centre une sphère de rayon 2 M, et que Ton appelle X, A>i ses intersections avec le rayon vecteur Or, il est visible que l'on aura les deux relations qui rentrent dans le cas du n<* 156,