T^TR

OX Or^OR OJl,i""Or ORi'

un rayon vecteur étant positif ou négatif, suivant qu'on le compte d'un côté ou de l'autre à partir du point 0. î)e là on déduit les propositions suivantes :

I* Tout point R transformé d'un point r est le conjugué harmonique de ce point par rapport au centre O et au pied de la normale X abaissée du point r sur une sphère de rayon 2 M.

2* Les deux points transformés R, Ri d'un point r, ou leurs symétriques par rapport au point 0» sont conjugués harmoniques entre eux par rapport au point et au point où la normale, abaissée du point r, rencontre la sphère de rayon M.

On déduit de ce qui précède la détermination d'un point transformé R par une construction unique qui ne souffre aucune exception, quelle que soit la position de ce point.

On déduit également une discussion facile des positions des points R, Ri, lorsque le point r prend toutes les positions possibles.

3® Tout point r situé sur la sphère de rayon 2 H est lui-même l'un de ses transformés.

167. Formules de transformation^ — Soient x^y^ z, X, Y, Z les coordonnées des points r et R. Représentons par r, R, H les distances Or, OR, OM. Nous aurons

MR MX MY MZ

l^__ Mr ^ M^ Y M.r 2= ^^

Principes de transformation, — i® Une surface du degré m a pour transformée une surface du degré 2 m.

2*^ La transformée d'un plan est une surface du second ordre de révolution dont le foyer est en 0, et dont le plan directeur est le symétrique du plan donné par rapport au point 0. Le plan mené par le point 0, parallèlement au plan donné, par^ tage la surface en deux régions, dont l'une contient les transformées de première espèce et l'autre les transformées de seconde espèce des points du plan.

Suivant que le plan est extérieur, tangent ou intérieur à la sphère de rayon M, la surface est un ellipsoïde, un paraboloîde, ou un hyperboloïde à deux nappes.

GHA.PITRJS Y. — DSS GOURBBS CONJUGUÉES, ETC. 343

Tout plan qui passe par le point est lui-même son trans- Formé.

Deux plans quelconques ont pour transformées deux surfaces de révolution du second ordre ayant même foyer, et dont 1 es pians directeurs font entre eux le même angle que les plans donnés.

3^ La transformée d'une droite est une conique dont le foyer est en et dont la directrice est la symétrique de la droite donnée par rapport au point 0. La parallèle menée par le point à la droite partage la conique en deux arcs, dont l'un contient les points transformés de première espèce et dont l'autre contient les points transformés de seconde espèce.

Toute droite passant par le point est elle-même sa transformée.

Deux droites quelconques ont pour transformées deux coniques de même foyer et dont les directrices font entre elles l'angle des deux droites données.

4° Une courbe située sur une surface a pour transformée la courbe d'intersection de la transformée de la surface avec le cône qui a son sommet en et qui passe par la courbe donnée.

168. Passage des propriétés d'une figure à celles de la trans^ formée. — i« Si la propriété est descriptive dans la figure don— née, elle existe aussi dans la figure transformée, pourvu que l'on remplace les lignes par des arcs d'ellipse correspondants*

C'est ainsi que les théorèmes de Pascal et de Brianchon sur l'hexagone inscrit et circonscrit à une conique sont vrais pou r l'hexagone curviligne inscrit ou circonscrit à la transformé^ de la conique, les côtés et les diagonales étant des arcs ^^ conique situés sur la surface de révolution du second deg».^ transformée du plan de l'hexagone donné, les plans de e^^ arcs passant par le foyer de la surface.

2» Si la propriété est métrique et projective, elle exlsx^ dans la figure transformée; mais tout segment, tel que a6^ ^ la figure donnée sera remplacé dans la relation projeciW^ ^ un triangle qui a pour base la distance AB des deux poVxx^^ transformés des. points a et 6, et pour sommet le polni O^ ^

C'est ainsi que, le théorème de Désargues sur 1 mv^Vv^.

des points d'intersection d'une transversale avec les côtés et les diagonales d'un quadrilatère complet donnant la relation projective

ab,cb\a'& z=z a'b'.ac.bc\

a, a'; b, b'\ c^ d étant les points situés sur les côtés opposés ou sur les diagonales» on aura dans la %gure transformée, en représentant par les mêmes lettres majuscules les points transforméSy la relation suivante (tr. étant l'abréviation du mot aire du triangle ) :

(tr. AOB) X (ir.COB') X (tr. A'OC)

= (tr. A'OB') X (tr. AOC) X (tr.BOC ).

3^ Si la propriété est métrique et non projective, la transformation se fera en remarquant que, pour un segment tel que ab de la figure donnée, p étant la perpendiculaire abaissée du point sur aby et a et (3 les points d'intersection des rayons vecteurs Oa, 06 avec la sphère de rayon M, on a la formule de transformation

ab.p tr.AO B M* "aA.pB*

Ainsi soit l'ellipse dont les foyers sont a et 6, et dont n est un point quelconque, si s/r est une constante, on a la relation

an -{- 6n = 2 Ar ;

si l'on représente par p ei q les perpendiculaires abaissées du point sur an et bn, et v le point oit le rayon On rencontre la sphère M, on a la relation

tr.AON tr.BON , t.,

p.aA 9*pB

Tangentes. — Soit I le point d'intersection des tangentes au point r et au point réciproque B de la courbe donnée et de la transformée; soit / la projection du point I sur le rayon vecteur Or, on a, d'après l'équation {n") du n"* 156, la rela-