OR
On en déduit la proposition suivante : La projection du point d'intersection de deux tangentes en deux points correspondants r etVi d'une courbe et de sa transformée est le conjugué harmonique du point par rapport aux points r et R. Ce point n'est autre chose que le point X d'intersection du rayon vecteur Or avec la sphère de rayon 2 M.
On obtient par là la règle suivante : Pour construire les tangentes des courbes transformées d'une courbe donnée aux points R, Ri correspondants du point r, menez la tangente au point r et les plans tangents à la sphère 2 M aux points Jle et Jlo,, où le rayon vecteur rencontre cette sphère; par les points d'intersection 1, I| de ces deux plans et de la tangente, tirez les lignes IR, Ii Ri, ces deux droiies seront les tangentes des deux courbes transformées.
Ces deux tangentes se rencontrent en un point N situé sur une perpendiculaire au point au rayon vecteur Or, et sur la symétrique par rapport au point de la tangente en r à la courbe donnée; donc, si dans la construction précédente on joignait les points I, Ii au point N, on aurait à la fois les points R> Ri correspondants du point r et les tangentes en ces points aux deux courbes transformées.
La construction du plan tangent à une surface transformée d'une surface donnée se fait de la même manière.
Rayon de courbure géodésique. — On appelle courbure géO' désique d'une courbe située sur une surface la projection de la courbure de la courbe sur le plan tangent à cette surface. Soient p et ^ les rayons de courbure géodésique de la courbe et de sa transformée aux points correspondants r, R, ces rayons de courbure géodésique se rapportant à la surface conique qui . contient ces deux courbes et dont le sommet est en 0; soient tt, 9 les projections triples successives de ces rayons de courbure, de telle sorte que l'on ait
7r = pcos'''(r, p), « = ^cos«(R, ^),
346 LITRE II. — GOURBBS RAPPORTÉB§ A DBS SYSTÈMES, ETC.
on aura, par suite de Téqualion (R) du n'' 156, les deux relations harmoniques
Ainsi la proportion harmonique qui a donné les points correspondants, les tangentes correspondantes, donne aussi d'une manière analogue les rayons de courbure géodésique correspondants.
Des arcs d'une courbe algébrique conjugués entre eux.
169. Forme de V équation d'une surface algébrique du degré m rapportée à son rayon vecteur mené d'un point donné O.
Soit /= o l'équation de la surface rapportée à des coordonnées rectangles rectilignes; si l'on appelle r le rayon vecteur mené du point 0(a/, y, z*) jusqu'à un point {x,jr, z) de la surface, et X, /x, v les angles qu'il forme avec les trois axes, on a
J7=:a:' -h rcosX, j^ = ^' -f- rcosfx, z-= z* -\- rcosv, ety conséquemment, si l'on pose
= (COSA -T hCOSfJi-T- -f cosv-T- 1
on aura les deux équations symboliques, en représentant par/i la valeur de / pour x', y', z\
pi w»m
