CHAPITRE Y. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. 3^'J

Soit ^ Tangle que le rayon vecteur fait avec l'axe des z, et 6 Tangle que la projection de ce rayon fait avec Taxe des x, on a

A = (sinij; cos9-t — h sini}^ sinô -j- + cos^'-r- )•

L'équation (/) sera celle de la surface rapportée à des coordonnées polaires issues du point 0.

170. Surfaces résultantes. — Théorème I. — Si du point 0(x',jr\ z') on mène une, sécante à une surface algébrique f=z o du degré m, et qtfon prenne sur cette sécante à partir du point un segment v qui soit lié avec les m segments r déterminés par la surface, par la relation

dans laquelle k est une constante, le lieu des extrémités du segment v est une surface algébrique du n'^^ degré, quel que soit le degré de f

En effet, si l'on représente par Si, S2, S«y. . .»S» la somme des inverses des premières, deuxièmes,..., /i""" puissances des segments déterminés par la surface /sur un rayon quelconque issu de 0, on aura les relations suivantes :

(>) lî-s— Tf-X'

(3) ^-^•-7î"^^TX~âX'

et ainsi de suite.

348 LITRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES STSTlSMES» ETC.

Od aura donc

et ainsi de suite.

Or, si Ton appelle X^ Y, Z les coordonnées de Textrémité du

segment v et qu'on remplace cosX, cos/x, cosv par leurs va-

leurs respectives > > y on voit que la pre-

mière équation sera du premier degré, la deuxième sera du second degré et la n**^ du degré n-, quel que soit le degré de réquation/.

Nous représenterons ces surfaces résultantes par F,, Fa,

■Psj • • • > * n»

171. Théorème II. — On peut tracer sur une surface algébrique f une courbe conique qui détermine sur la génératrice quelconque du cône m segments rt, ri, ... , r« liés entre eux par la relation

in) > — = —

Du centre de la surface conique et d'un rayon a décrivez une sphère; elle coupera la surface F^ suivant une courbe sphérique ' dont le rayon vecteur sera a. Si maintenant on décrit une surface conique qui ait son sommet en et pour directrice cette courbe sphérique, ce cône coupera la surface algébrique /suivant une courbe conique qui jouira de la pro* priété (/i). .

Corollaire I. — Dans le cas où w = i, la surface conique sera un cône circulaire droit. La courbe d'intersection de ce cône avec la surface/ jouira de la propriété

les tangentes seront liées entre elles d'après la loi {n") du