CHAPITRE y. — DCS COURBES CORIUGUÉES, ETC

la première équation sera du degré m, la seconde équation sera du degré 2 m, et ainsi de suite. Ijous représentons les surfaces correspondajnt à ces équations par $«, $3..

On voit que, si la surface /est un plan, les surfaces 9t, $„ 4>,, • . . seront, la première un plan, la seconde une surface du second degré, la troisième une surface du troisième degré, et ainsi de suite.

Il est facile de voir que le même problème pouvait être résolu dans le cas où, les rayons vecteurs a, r,,. . ., r« étant liés entre eux par une fonction ip algébrique symétrique de ces rayons, on aurait déterminé le lieu des extrémités du segment V lié avec les rayons vecteurs par l'équation

174. Des courbes algébriques conjuguées entre elles, — Traçons sur une des surfaces de la série (F) ou de la série ($) une courbe quelconque C algébrique et formons un cône qui ait son sommet en O et qui contienne la courbe C, il déterminera sur la surface / une courbe algébrique C qui sera rencontrée par la génératrice du cône en m points; il y aura donc sur la Courbe C m arcs qui seront conjugués de la courbe G, puisque les rayons vecteurs qui seront relatifs à ces m points seront liés avec le rayon vecteur relatif à la courbe G par la relation (i>) ou par la relation (%/ ). De là résulte que Ton connaît les lois d'après lesquelles sont conjuguées les tangentes en ces m + 1 points, et les rayons de courbure géodésique par rapport à la surface conique qui les contient (n"* 156 et suivants).

Si la courbe G est l'intersection d'un plan passant par le point O, avec la surface de la série (F) ou de la série ($) que Ton considère*, les courbes C et C seront planes; mais les lois d'après lesquelles les points correspondants, les tangentes et les courbures en ces points seront conjugués, seront les mêmes; seulement les rayons de courbure géodésique ne seront pas distincts des rayons de courbure propre.

352 LIVRE II. — COURBES RAPPORTEES À DES STSTftME^, ETC.

§ lîl. — Généralisation.

175. Des courbes conjuguées sur une surface développable. Des courbes situées sur une surface développable sont dites conjuguées suivant leurs rayons vecteurs lorsqu'une génératrice rectiligne variable de la surface détermine sur chacune des courbes des points A,, A,, A3, . . . , A„ tels, que les segments ou rayons vecteurs comptés sur cette génératrice à partir de son point de contact avec l'arête de rebroussemenl satisfont à une relation invariable entre ces rayons.

Si Ton développe sur un plan la surface développable, l'arête de rebroussement et les n courbes se changeront en courbes planes telles que la transformée de l'arête de rebroussement sera la courbe des pôles par rapport à n courbes planes.

Les courbes tracées sur la surface et les courbes planes seront liées entre elles par ces conditions, que les rayons vecteurs des courbes planes, les angles qu'ils forment avec les tangentes à ces courbes, les aires qu'ils balayent, les longueurs des arcs n'auront pas changé, et que les rayons de courbure des courbes planes resteront -égaux aux rayons de courbure géodésique des courbes tracées sur la surface. D'après ces considérations, l'étude de ces dernières courbes est ramenée à l'étude des premières.

176. Problème V. — Connaissant [fig, 67 ) la loi d'après laquelle n courbes tracées sur une surface développable sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs comptés sur une tarvgente à V arête de rebroussement à partir du point de contact, trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes sont conjuguées entre elles*

Conditions du problème, — Soient les n courbes planes correspondantes , rapportées à la courbe plane correspondant à l'arête de rebroussement, et soit l'équation

exprimant la loi d'après laquelle les rayons vecteurs r,, r,,..., r.

GHAPITHE V. — DES COURBES G01UU6UÉE8, ETC. 353

sont liés entre eux; en représentant par de, da, v l'angle de contingence, l'élément d'arc et le rayon de courbure de la

FIg- 67.

courbe des pôles» en conservant les notations déjà usitées et en admettant toujours que les lettres dénuées d'accent doivent se rapporter à une quelconque des courbes conjuguées» on a les équations suivantes :

(i) cosa =

rf(r-4-(r) ds

rde

dr = (rcoiec—v)de;

ds = Rde,

de=^ de — doc, do* = t de.

Lois analytiques des tangentes. — Si l'on élimine de et ds entre la deuxième des équations (i) et les deux premières équations (rt), on obtient la relation

doL = (^ô~7 1 j de,

\Rsina / '

ex, en ayant égard à la troisième des équations (i), on obtient le rapport de dcc à dr, donné ^ar l'équation

r — Rsina

doi

dr R(rcosa — trSina)'

354 UTRB II. — GOURBBS RAPPORTÉBB A DBS STSTÈMES, BTG.

or, si Ton différentie Téquation (F) et qu'on élimine les dr au moyen des n équations contenues dans le type représenté par la dernière des équations (i), on aura la relation suivante :

rfF V dF

cota.

Interprétation géométrique. — Si Ton représente par A le point où le rayon vecteur r coupe la courbe s, O son point de contact avec la courbe des pôles, et N le point où la normale à la courbe 5 coupe la normale à la courbe a, v le centre de courbure de celte dernière, n le point, pris sur le rayon vecteur, qui se projette en N sur la normale à la courbe 5, et v^ le point où une droite menée par le centre de courbure parallèlement à N/i rencontre le rayon vecteur, on aura les relations

ON = OA cota, On = r coVa = ON cota;

d'après cela, Téquatlon (n) s'écrit sous la forme suivante :

Cette équation donne lieu au théorème suivant :

Théorème. — .Si n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs comptés sur une tangente à une courbe à partir du point de contact y que par le centre de courbure v de cette dernière on élève une perpendiculaire au rayon de courbure sur laquelle on construise, à partir du point v et pour chaque courbe, des longueurs t,F proportionnelles à la dérivée de F par rapport au rayon correspondant ^ et que Von construise la série des triangles rectangles dont l'un aurait une de ces longueurs pour côté de l'angle droit et le seg^ ment Nt^ pour second côté, la somme algébrique de ces triangles sera nulle»

1T7. Problème VI. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent, trouver la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des n courbes.