CHAPITRE V. -- DES COURBES GONJUGUfiES, ETC

Prenons la différentielle de Téquation (n) et éliminons les dr au moyen des équations renfermées dans le type fourni par la troisième des équations (i) et les da au moyen des équations données par le type (4)» on trouve la relation

ri —

-f-2(ry cola, - v)[col«, ^ (r, ^) - . J^].

dans laquelle les indices i et j doivent prendre toutes les valeurs, depuis I jusqu'à n, et dans laquelle %! est la dérivée de x. par rapport à e» ou bien du rayon de courbure de la développée de <y.

Si la fonction F est telle que sa dérivée par rapport à l'une quelconque des variables r ne dépend que de cette variable, il faut faire Tindice i égal à Tindice j, dans l'équation que nous venons de trouver, ce qui permet de supprimer ces indices, et l'équation peut s'écrire sous la forme suivante :

rfF •

^ R sina ^L ^'^ \ ^^ ) ^^ j

V [ d [ dF\ rf'Fl

^ dr^ ^ dr

Telle est Téquation qui donne la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des courbes s, et l'on voit qu'elle dépend de la courbe a et de sa développée.

178. Problème VII. — n courbes sont conjuguées entre elles suivant leurs rayons vecteurs d'après la loi

trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes sont

356 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES À DES StSTfalES» ETC.

conjuguées, ainsi que la loi d'après laquelle les rajrons de courbure sont conjugués entre eux.

Si Ton différentie l'équation (F) et qu'on élimine les rf(r-+- a) au moyen des équations ( i ) du n"" 176) on obtient la relation

(n) 7 -Tt -x ''COta = o=> -jT :