DES COORDONNÉES EN GÉNÉRAL

181, Coordonnées d'un point, — La définition d'une courbe donne une relation entre un point quelconque de cette courbe et une ou plusieurs grandeurs géométriques^ appelées paramètres. La variation d'un paramètre déterminé p donne une série infinie de courbes qui occupent toutes* les positions possibles ; si Ton se donne une seconde courbe dépendante d'un paramètre pi, on aura une seconde série de courbes en donnant à pi toutes les valeurs possibles; un point quelconque du plan qui contient ces deux séries de courbes sera déterminé par l'intersection de deux courbes correspondant à des valeurs déterminées de p et de pi. Ces deux valeurs sont les coordonnées du points et les deux familles de courbes (p) et (pi) forment un système de lignes coordonnées. Généralement, l'angle sous lequel se coupent les lignes coordonnées n'est ni droit ni constant : il varie avec la position du point, il est une fonction des coordonnées p, pi.

182. Problème des coordonnées. — Soit un point assujetti à parcourir une courbe quelconque située dans le plan des coordonnées; si l'on étudie les diverses positions de ce point dans le plan, les déplacements de ce point ont des liaisons nécessaires avec les déplacements des lignes coordonnées; il en

362 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES À DBS GOORIMNIfÊES, ETC.

résulte des relations entre les tangentes» les courbures de la courbe et les tangentes» les courbures des lignes coordon* nées, et, plus généralement, entre les éléments de la courbe et les éléments correspondants des lignes coordonnées. Le problème des coordonnées curvilignes consiste à faire connaître ces relations, qui, au point de vue géométrique, sont des théorèmes importants de la Géométrie des courbes, et, au point de vue analytique, sont des formules précieuses de transformation des variables.

183. Tangentes aux lignes coordonnées. — Paramètres différentiels. — Si Ton considère (fg* 68) sur la ligne p» de la

Fig. 68.

série (pi) deux points infinimentToisins A, B correspondant aux valeurs p et p +£fp de deux courbes de la série ( p)» la direction de la corde AB qui joint ces deux points donne la direction de la tangente de la ligne pt, et cette corde donne la longueur de Tare de la courbe pi compris entre ces deux points ; si l'on appelle da cet arc, il aura en chaque point un rapport fini avec dp, puisque da^ et dp sont des infiniment petits du même ordre; donc, en représentant par H ce rapport, et en opérant de même sur la courbe p dont l'élément sera appelé dat et le rapport de dai à dpi sera représenté par Hi, on aura les deux relations suivantes :

rfo- = H rfp, rfo-i = H, dpi ;

les grandeurs H et Ht sont appelées paramètres différentiels des lignes coordonnées. Nous représenterons par </«, dt, ou bien par d^y df^ les différentielles partielles par rapport à p ou à pi,

GHàPITRB I. — DBS COORDONNÉES EN GÉNÉRAL. 363

la lettre d indiquant une différentielle coqaplète, de sorte que Ton a d = do-^- di symboliquement.

L'angle 9 des lignes coordonnées sera l'angle des deux éléments d(T9 ddxj ou bien des deux normales dn, dux aux deux lignes coordonnées.

Un chiffre entre parenthèses, placé à droite d'une équation, indiquera le nombre d'équations qu'elle contient et qui s'en

déduisent par la permutation des indices.

184. Be la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. — L'angle I de deux tangentes à la courbe da menées par les deux extrémités de cet élément est V angle de contingence propre de la ligne rfo-, et l'angle J des deux tangentes aux courbes infiniment voisines de l'autre série menées par les extrémités du même élément da est l'angle de contingence inclinée du même élément, suivant les tangentes aux courbes de l'autre série; le rapport de l'angle I à l'élément rfoest la courbure propre de la ligne da, et le rapport de l'angle J à d(j est la courbure inclinée de la ligne rfo- suivant la courbe ddx, La direction de ces deux courbures est donnée par l'arc de cercle infiniment petit qui mesure les angles I et J. Les rayons de courbure propre ou inclinée des lignes coordonnées sont donc connus en grandeur et en direction. Nous représenterons par R, R, les premiers et par L, Li les seconds. D'après cela, si nous nous reportons au problème du n® 53, relatif à la développée oblique d'une courbe rfo-, suivant l'angle variable cp des lignes coordonnées, le rayon tangentiel r de cette développée oblique est perpendiculaire au rayon de courbure inclinée L de la courbe rfo-, et, de plus, ces deux rayons sont liés entre eux par la relation

/ X sin© I

185. Des composantes obliques des courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées* — On est souvent conduit à composer ou à décomposer deux courbures suivant la règle du parallélogramme des forces; voici comment se fait cette composition :

364 LIVRE III. — C0URBB8 RAPPORTÉBS À DBS GOOEDONIfÉBS» ETC.

Composition des courbures» •— Soient {fig. 69) deux coor-

Fig. 69.

bures r^ 9 ^ appliquées au point A suivant les directions AB, AC ;

supposons que ces deux courbures, que nous représentons par ABo AC^ aient été composées en une seule AD, suivant la règle du parallélogramme des forces. Si du point Bi on élève la droite BlF égale au rayon de courbure R, perpendiculaire à ce rayon et du même côté que l'angle ABiD, et aussi la droite Bi£ égale au rayon de courbure oblique L, perpendiculaire à la direction de ce rayon et du même côté que l'angle DB, A, et qu'on mène des points F et E des perpendiculaires à ces deux droites, elles déterminent les points A et D; joignons AD; l'inverse de la perpendiculaire abaissée du point Bi sur AD sera égale à la résultante des deux courbures et perpendiculaire à sa direction. En effet, d'après la relation qui existe entre les trois hauteurs du triangle A Bi D, on a

Bi G Bi Ë Bi E

B.FXB,E

or, d'une autre part, les côtés du triangle ABiD sont inversement proportionnels aux hauteurs correspondantes; de là résulte que ce triangle n'est pas distinct du triangle des forces. Donc les courbures se composent comme les forces.

Ce théorème fournit donc le moyen de calculer les courbures et réciproquement.

Composition des angles de contingence. — Puisque l'on passe des courbures, soit propres, soit obliques^ d'un arc aux

GHAPmUl 1. — DBS COOKDOHHtB IH GÊNtRlL. 365

angles de contingence correspondants en multipliant ces cour* bures par l'élément de la courbe dtr, toute équation homo* gène qui existera entre les courbures d'un arc existe aussi entre les angles de contingence correspondants; de là résulte que l'on peut composer et décomposer les angles de contingence, soit propre, soit inclinée, d'un arc suivant la règle du parallélogramme des forces.

186. Composantes obliques des courburet suivant les arcs coordonnés. — Soient ~? -7; — i -r les composantes obliques

des courbures „« ô~' d'après la règle du parallélogramme des

forces, suivant les arcs coordonnés; soient 7* 7^- 7' / '^s

composantes des courbures f» j-^ suivant les mêmes arcs; on a les relations

,,, I sîno sino i sîno i , ^

^' R t,cos9 v' L fcos9 /cosç ^ '

De même, si l'on représente par i, f; /,, f, les composantes obliques des angles de contingence I, It, suivant les arcs coordonnés das d<Ttf et par jf',/; jf'i, /, les composantes obliques, suivant les mêmes arcs des angles de contingence inclinés J, Ji, on aura les relations

{4') I=— I = i'sin(p, J = — / =/sino. (a)

^^ ' COSQ •' C0S(p •' ^ ^

187. Variation de rangle des lignes coordonnées. — Par les extrémités A, C de l'arc da {fig. 70), menons des tangentes à cet arc, ainsi qu'aux deux arcs de l'autre série de coordonnées qui passent par ces points, nous formons un quadrilatère dont les angles sont <p, 180 — I, 180 — 9 — rf,©, J; or la somme de ces angles est égale à 36o degrés; on aura donc la relation

(5) rf.9=:J — I, (a)

366 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES» ETC.

et» en divisant par dv, on aura la relation fondamentale

Elle n'est pas distincte de celle que nous avons trouvée dans les systèmes tangentiels de coordonnées (Chap. III, n** W).

Ces formules sont générales, pourvu que les angles J et I soient comptés positivement ou négativement» suivant que les

Fig. 70.

parallèles menées du point A à la tangente BC et à la tangente CD se trouvent d'un côté ou de Tautre» la première par rapport à la tangente AB» la seconde par rapport à la tangente AD.

188. Expression de l'angle de courbure d'une courbe coordonnée dQ en fonction des variations des arcs coordonnés.

Problème.— Un point quelconque A (fig. 7 1 ) d'une courbe de subit un déplacement AB dans une direction donnée par une certaine loi, de telle sorte que le lieu des points B est une certaine courbe; trouver l'expression de V angle de contingence I en fonction de la variation de l'arc d(T et de la variation du déplacement AB.

AE» EA' sont deux tangentes infiniment voisines à la courbe dtr; A'N est perpendiculaire à A'E, A'Mi à AE; AT est parallèle à AB; /m est le cosinus de l'angle EAB; dai est le déplacement AB; A'B' le déplacement infiniment voisin;