CHAPITRE I. — DES GOORDOMNÊES EIV GAnTRAL
di représente la variation. Cela posé, les deux triangles A' ME, MiA'N donnent
VM M. N M. B ~ B N M.T-f- FB^- NB^ , ^"^^ A'E "~ A'N "" AN ~" AN '
or
M, r =r — |:xrf(x., TB' = - rf, rf(7, NB'=:— iiddx — d9{iJ.dcri)j A'N=:rfo-, sin9;
substituant, on a
did<T — do{[jLdcri) d(Ti sin(p
Cette formule est tout à fait générale et se rapporte à un déplacement d(7t quelconque; on peut donc admettre que ce
Fig. 71.
déplacement est l'arc de courbe coordonnée d compris entre deux courbes infiniment voisines de la série (c}. On pourra donc écrire la formule précédente sous la forme
(6') — sinç
dp dp
d(Tx
dp,
Si le déplacement d^x est parallèle à une direction fixe, par exemple à Taxe des x^ on aura les relations
dx rf, rfo' = o, cos9 = — » rfo", = rfjr = rfpi.
et la formule deviendra
cosfR, rf^) flf /dx\ dp
laquelle donne l'angle que le rayon de courbure fait avec Taxe des x; on trouverait une formule analogue pour Taxe des j.
189. Expression de la courbure inclinée d'une ligne coor^ donnée suivant Vautre ligne, — Si dans la formule (6^) on
remplace ^r par sa valeur tirée de la formule (5'), on aura
(7') rf(x, -y- sincp^roççrforf^i — û'irfo". (2)
On déduit de l'équation (6') que» si la série (pi) des lignes coordonnées se compose de lignes droites» l'autre série se composant de lignes quelconques, on a l'équation
(6'') </, rfcr = rf,(cos©rf(x,).
Donc, si la série (pi) se compose de lignes droites, les variations par rapport aux paramètres réciproques de Télément de l'arc d'une ligne de la série et de la projection de l'élément d'arc de la ligne de l'autre série sur la première sont égales. La formule (7') peut aussi s'écrire sous la forme suivante :
, , - cosd^d(Tx — rfi rfa , .
^' flo", sinç ^ '
Les formules (6) et (7} sont fondamentales : elles renferment de nombreuses propriétés, que nous développerons dans le courant de ce Chapitre.
190. Variations des arcs coordonnés. — Si l'on résout par rapport à d, dtTx et dy da les deux équations contenues dans le type ( 7 ), on a les deux relations contenues dans le type sui^ vant :
(8) — SÎn 9 derfo", = J, rior -h J COS 9 ^(T,, (2)
GHÀPITRB I. — DBS GOOBDOIfNÉBS EN GÉNÉRAL. 36g
OU bien dans le type
(8') — sin(^ do dfTi = ( -^ -h ^^jdaddx; (2)
or, si Ton représente par d(û Taire du quadrilatère dont les deux côtés contigus sont da, rf<x„ et par •=■> r- les projections
orthogonales de la résultante des courbures -p» j- sur la direc-
tion de ces courbures, la variation de l'arc est exprimée d'une manière aussi simple que significative par le type suivant :
d(ù X sin'(p
si Tangle f était constant, on aurait
(8") rf.rf,. = (i. + £££î)^'; (,,
' \Ri K / smcp ' ^ '
si cet angle était droit, on trouverait
(8-^) —d.d(ix = -^, (2)
Enfin si, de plus, la série des lignes (p) était composée de lignes droites, la formule précédente donnerait la relation
rf, d(Ti = o,
laquelle signifie que, la variation de Tare J<7i étant nulle par rapport à p, l'élément dai sera le même pour toutes les valeurs de p; ce qui conduit à ce théorème connu :
Les trajectoires orthogonales d'un système de lignes droites interceptent sur ces lignes des longueurs constantes,
La réciproque de ce théorème est également vraie; car si les lignes d'un système coupant orthogonalement les lignes d'un autre système interceptent sur celles-ci des longueurs constantes, leurs variations sont nulles; donc l'équation (8'^)
prouve que ,r- est nul pour tout point d'une de ces lignes, et
lit
que, par conséquent, ce sont des lignes droites. Ces propriétés ont déjà été démontrées dans la théorie des développées des courbes.
191. Variation des angles de contingence propres ou inclinés des lignes coordonnées. — On a les deux relations
si Ton différentie la première par rapport à pi et la seconde par rapport à p, en ayant égard aux formules (8"), on trouve les deux équations contenues dans le type suivant :
(9) rf.i==rf,rf..[^(i.)^^]. (.)
£n opérant de même sur les deux relations
on obtiendra les deux formules contenues dans le type
si les coordonnées se coupent sous un angle constant, on aura
9') .■'.• = """{k (s) -jûb(K*T)^ <•)
' enfin, si Ton représente par ^' une fonction quelconque de Tangle des coordonnées (p, on aura généralement dans le cas de f quelconque les formules
CHAPITRB II. — DBS LIAISONS ENTRE LES YARIATIONS, ETC. 87!
