DES LIAISONS ENTRE LES VARIATIONS DES COURBURES

192. De la double variation de l'angle des lignes coordon^ nées. — Nous avons trouvé'les deux équations

Si Ton prend la variation de la première par rapport à pi et celle de la seconde par rapport à p, on obtient

de là on conclut les deux théorèmes suivants :

i'* La double variation de l'angle des lignes coordonnées est égale à la différence des variations des angles de contingence propre et de contingence inclinée d'une courbe coor-donnée par rapport au paramètre correspondant à cette courbe.

• a° Les sommes des variations de l* angle de contingence propre d'une courbe et de l'angle de contingence propre de sa conjuguée par rapport aux paramètres correspondant à ces courbes sont égales.

193. Propriété de l'octogone infinitésimal des tangentes. — Menons des tangentes (Jig. 72) aux sommets du quadrilatère curviligne formé par deux courbes d'une série infîniment voisines, coupées par deux courbes de Tautre série infiniment voisines; on obtient ainsi un* octogone rectiligne dont la somme des angles est connue; or, si Ton remarque que les angles de ce polygone sont

9, TT — I, TT — cp — t)o T# I "+- <>o I -+- TT,

cp -h Dcp, I 4- <)| I -f- TT, TT — 9 — - D, (jp, TT — I,

372 LITRE m. — COURBES RAPPORTÉES ▲ BBS GOORDONIIÉBS, ETC.

et que la somme des angles de ce polygone est égale à autant

de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux dans le polygone, on aura

si Ton développe les variations négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on trouve

(2) — rfcrfi 9 = û^«Ii -+- rfil;

si Ton a égard aux équations (i), celte formule conduit à la relation suivante :

(3') rforft<p = rfoJt -î- diJy

eXf conséquemment,

( rfo(J. + I.)-+-rf.(Jt-+-I) = 0, ^^ 1 rf,(J»-I,) + rf,(J ~I)==2rf.rfi9.

194. Conséquences et transformations. — On déduit des deux formules précédentes ce nouveau théorème :

3^ La double variation de l'angle des lignes coordonnées est égale à la somme des variations des angles de contingence propre, ou des angles de contingence inclinée suivant leurs paramètres réciproques.

CHAPITHB II. — BBS LIAISONS KNTRB LES TÀBIÀTIONS, ETC. $73

Si les lignes coordonnées se coupent sans angle constant, les formules (3) et (3'} deviennent

d^li -h dil = o, d, J, 4- rfi J = o.

Donc on a la proposition suivante :

k^ Dans tout système de coordonnées curvilignes à angle constant, la somme des variations des angles de contingence propre ou des angles de contingence inclinée, suivant les paramètres réciproques, est nulle.

Si une série (pi) de lignes coordonnées se compose de lignes droites» on a Téquation

— dodtf = d» I,

laquelle conduit à la propriété suivante :

5** Si deux séries de lignes coordonnées sont composées de lignes droites, la double variation de l'angle des lignes coordonnées est égale à la variation de V angle de contingence des lignes de Vautre série, suivant le paramètre réciproque*

Si Ton rapproche la deuxième des équations (2) de la première des équations (4)9 on trouve ies deux équations

^ i dj -i-rf«I, = 0,

^ ^ ' \ rfoJ.-4-rf.I =0,

qui conduisent au théorème suivant :

6® La somme des variations de l'angle de contingence d'un arc et de V angle de contingence incliné de Varc conjugué par rapport aux paramètres réciproques est nulle.

195. Applications. — Problème. — Trouver les conditions pour qu'un système de coordonnées jouisse de cette propriété, que la somme des variations des angles de contingence des lignes coordonnées soit égale à une fonction donnée

F(pp,)rfprfp,.

374 UYVE lit. ^ COURBES RilPPORTÉES A DBS GOORBOimtBSy ETC.

L'équation (2) donne

Cette équation aux différences partielles a pour intégrale

?=/(p)+/i{pi)— / dp f *F(pp,)rfp.,

et l'on voit que la forme de l'angle f , qui donne la somme des variations des angles de contingence égale à zéro, est

9=:C0nSl.Hr/(p)-+-/i(p,).

Ainsi, pour que cette somme des variations soit nulle, il n'est pas nécessaire que l'angle 9 soit constant^ il suffit qu'il soit égal à la somme de deux fonctions ne contenant chacune que l'un des deux paramètres p ou pi.

196. Généralisation des formules précédentes. — Représentons par ^ une fonction arbitraire de l'angle <f et par ^' sa dérivée par rapport à l'angle 9; multiplions les formules (i) par ^, et différentions la première par rapport à pi et la seconde par rapport à pi et ajoutons, nous trouvons les relations suivantes :

[2] rf. rf. ij; = rf. [^'( j ~ I)] = rfo Wih - 1.)];

d'une autre part, posons pour abréger

1 I sin9

les deu( équations (5) donneront les deux relations suivantes :