CHAPITRE II. — DBS LUISONS BMTBG LB8 TÀRIATIONS, BTC

si l'on combine ces équations avec les relations [2], on obtiendra les formules

rf. ( 4/' I ) + </, ( <};' I , ) = ï rf« - </. </i + . [3] { ft

rf, ( (j;' J ) 4- rf, ( 4^' J. ) = Ç rfw H- rf. rf. <j/ ,

auxquelles il faut joindre les deu^ équations résultantes

( rf. [^'{J - I)] -4- t/.[^'(J. - I.)] == 2rfo rf. +, '■^^ j rf. [+'(J + I)] -f- rfo[+'( J. -^ 1.}] = 2 Ç rf«.

Par suite de Tindétermination de la fonction ^ de l'angle 9, le nombre des formes auxquelles conduisent les formules précédentes se trouve infini ; nous verrons plus tard qu'il en est de même du nombre des théorèmes de Géométrie qui en sont la conséquence.

197. Relations entre les équations des courbures des lignes coordonnées.— Portons dans les équations (3) et (3') les variations des angles de contingence propre ou inclinée des lignes coordonnées données par les formules (9) et (10) du Chapitre I> nous trouvons

^^'^ c/(T. VR/"^ ^^ Uij sincp \R^ "^ R.^/

d ( i\ ^ d ( I \ I /i , i\rf, rf, 9

dadai *

^ ^ d(Ti\L) d(T\Lxj sin9\LX L|X,/ rfcddi La première équation peut s'écrire sous la forme

d (i\ ^ /j\ I / ' ^ 2cos9 \

5ï; \R j "^ di \rJ "" sin9 \R^ l RJ "*" "MT/

^9 /i cos9\^ ^91 Ij^ cos9 \ ^ rf, rf»9

\R ■*" "rT/*" sin 9^/(7, VRl "^ "X"^

sin9d(j \R R, / sin9rf(XiVl^i R / dirdai

376 LIVRE ni. — G0U&BB8 AlPPORTtBS À DBS GOOEDOIYNÉBS, BTG.

et la deuxième s'écrira sous la forme

d [ i\ d I i\ I / T j 2 cos<p \ d]d.(^

rfôl \L/ d(7\Lt) sinç \L' L] LL, / û^o-rfo-, """

Si l'on porte les variations des angles de contingence propre ou inclinée des lignes coordonnées dans les formules (5), on trouve

198. Formules générales. ^ Portons dans les équations [2] et [3] du n? 196 les variations des produits tels que l^y Jij/' donnés par les formules (i i) du Chapitre I, nous trouvons :

MhU^)

4»' / I , I \ d^dx^ 4'"sin9

sin(p \RX R|X,/ ddddi K

d(7t \ L / rfo" \ L,

4' /i l\ d,dt^ 4>''sin9

sin9 \LX L|X,/ rfcrfo-i ~" K

qui, malgré leur généralité^ n'en affectent pas moins une forme tout à fait simple.

199. Discussion des formules précédentes. — i® Si les deux séries des .lignes coordonnées se composent de cercles, les

courbures ^9 ^ sont constantes, et la [formule (2') donne la relation suivante :

dddcTt sincp \RX RiXi 2« Si l'une des deux séries, la série (pi)se compose de lignes*