CHAPITRE II. — DES LIAISONS ENTRE LES YÀRIATIONS, ETC

dont rintégrale est

9r=F(p)-f-F,(pO,

F et Fi étant deux fonctions arbitraires, la première du paramètre p et la seconde du paramètre pi ; telle est donc dans ce cas la forme de l'angle des lignes coordonnées.

3^ Si les deux lignes coordonnées se coupent sous angle droit, on trouve la formule connue

rff rfc dl d(Tx

d(Tt d(T

201. Formules générales. — Portons dans les formules [3] les valeurs des angles de contingence I, li donnés par les formules (6), nous obtiendrons l'équation

, r i! dida — d^idffi cos9)"| Lsincp d(Ti J

j r ^' do dai — dx(d(T cos<p)'] \L"d(ù , , ,

Lsincp d(Ti J K ^

laquelle se rapporte à toutes les formes de la fonction ^,

Dans le cas où les deux séries de lignes coordonnées sont des droites, elle se réduit à l'équation binôme

dodi^:=r^^

d.di^ = rd^d^.[-^^--^)'

202. Des quadrilatères curvilignes. — Considérons {fig^ 74) le quadrilatère curviligne déterminé parles lignes p^*^, p^*^ de la série (p) coupées par les lignes p^^\ p[^^ de la série (p» ); ce quadrilatère jouit de propriétés géométriques que nous allons démontrer.

Intégrons les deux membres des équations [3] deux fois de suite : une première fois par rapport à p et entre les deux courbes de la série (p) que forment les deux côtés opposés du quadrilatère, et une seconde fois par rapport à pi, entre les

38o uns m. — oocu» Mxmmita a ms oooBB(»iiiB, src

dem coarbes de la série f p. ) qui forment les dem autres côtés opposés; si nous représentons par A, B, C, D les quatre angles

da quadrilatère et par da^ ô~' F l'arc, la courbure propre et

la courbure inclinée d'une quelconque des lignes qui limitent le quadrilatère, on aura les deux relations

dans lesquelles le signe f des derniers termes s'étend à tout le contour, et l'indice i doit être posé égal à zéro ou à l'unité, suivant que l'on intègre le long des lignes de la série pi ou de la série p.

Si le quadrilatère est rectiligne, les intégrales contenues dans le dernier terme de la première sont nulles, et l'on a

= ^( A) - ij;(7r — B) -r- q;(C) — +(7r — D),

CHàPITRB II. .— DES LUISONS EJUJVE LBS YÀRUTIONS, ETC. 38l