CHAPITRE III. — BBS PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. SqI

L,es formules (6) et (7) du n" 188 el du n? 189 donneront les •expressions suivantes :

Ces différentes formules établissent surabondamment le rôle capital que jouent les trois paramètres différentiels.

213. De la nature des paramètres différentiels, — Chaque système de lignes coordonnées produit un système correspondant de paramètres différentiels H, Hi, 6; des caractères spéciaux appartiennent à chacun de ces systèmes. Ceux qui affectent les paramètres H^ H| sont relatifs aux déplacements effectués sur les arcs coordonnés, ceux qui affectent G sont relatifs à Tangle sous lequel se coupent ces arcs coordonnés.

Examinons d'abord quelques caractères résultant de la forme du paramètre G. Si ce paramètre est nul, le système des lignes coordonnées est orthogonal. Cette circonstance se présente dans le système polaire indiqué à la fin du n** 207, et dans le système de coordonnées elliptiques du n« 209.

Si le rapport de G' au produit HHt est constant, les lignes coordonnées se coupent toujours sous le même angle; cela a lieu lorsque les lignes de la première série sont des cercles tangents à Tun des côtés d'un angle en son sommet, et que les lignes de la seconde série sont aussi des cercles tangents à l'autre côté de l'angle au même sommet.

Lorsque ce rapport est égal à la Somme de deux fonctions, l'une du paramètre p et l'autre du paramètre pt, les deux séries de lignes coordonnées sont rectilignes. Cette condition est nécessaire et suffisante, comme nous l'avons trouvé au n** 200, et comme nous l'avons vérifié par un exemple au n® 205.

Examinons, en second lieu, certains caractères résultant des formes des paramètres H et H|.

Sgi LimB ni. — couubs rapportêbs a des cooRDomdtss, etc.

Dans certains systèmes de coordonnées, les paramètres H et Hi sont égaux entre eux ; ces systèmes jouissent de propriétés particulières qui ont été étudiées par M. Liouville. Ce cas se présente dans le système de coordonnées bicîrcuiaires étudié dans le n<* 206. Si, de plus, la valeur commune de ces paramètres différentiels est telle que son carré soit égal à la somme de deux fonctions, Tune du paramètre p et l'autre du paramètre pi, l'équation différentielle du second ordre de la ligne géodésique tracée sur une surface quelconque a une intégrale première (*). Ce cas se présente dans le système des coordonnées elliptiques, puisque les carrés des deux paramètres différentiels se ramènent par une transformation facile à la somme de deux fonctions, cliacune d'une seule variable. Ceci permet, lorsqu'il s'agit de coordonnées elliptiques planes, de représenter la tangente à une des coniques homofocales d'un système par une équation différentielle de forme expressive.

Dans d'autres systèmes de coordonnées, les paramètres différentiels H, H( ne dépendent chacun que d'une seule variable ; c'est ce qui se présente dans le système de coordonnées birectilignes, comme on l'a vu au n"* 205.

Mais le cas le plus intéressant est celui qui se présente dans le système curvo-rectiligne orthogonal, parce qu'alors un des paramètres différentiels est l'unité et l'autre une fonction d'une seule variable. C'est la forme particulière de ces paramètres qui paraît se prêter le plus facilement à la résolution des questions sur l'analyse des courbes, comme la chose a été surabondamment établie dans notre Livre I.

(*) Voir notre Anafyse infinitésimale des lignes tracées sur une surface quel'conque^ p 194.

ghâpitrb iy. — d'une courbe quelconque, etc. 3g3