D^UNE COURBE QUELCONQUE RAPPORTÉE A DES COORDONNÉES

CURVIUGNES.

214. Longueur et direction de l'arc. — Soit une courbe s quelconque tracée sur un plan et rapportée à un système de coordonnées curvilignes; cette courbe, traversant le réseau des lignes coordonnées, sera appelée trajectoire. L'élément ds est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres sont d(T, d(Ti; en appelant a, ^ les angles que cet élément forme avec d(x, d^i, on aura les équations

ds d(T d(Ti ^

sin(p sin|3 sina ^ dscosa = d(7 -hd(7iC0S(p, ds cos^ =• d(Ti -h d(T cos(^;

ds^ = d(T^ + rfo-J -i- ndadai cosy,

lesquelles font connaître la direction de l'élément ds par rapport aux lignes coordonnées, ainsi que la grandeur de cet élément.

Rectification. — L'équation de la courbe est une relation entre les paramètres p et pi. Soit cette équation

la différentielle ds de l'arc de courbe ne sera donc fonction que d'une seule variable p; donc l'intégrale de cette différentielle entre les deux valeurs de p, p^*^, p^'^ donnera la longueur de l'arc s compris entre les deux courbes p^*^, p^'^ de la série p. Qadrature. — L'aire du quadrilatère infinitésimal des lignes coordonnées a pour expression dvdaisinc^; si l'on intègre >unè première fois par rapport à pi, entre les valeurs de pt, p^t\

394 UYUM III. — GOnUBS BAPPOETÉBS a BBS GOOâVOimÉBS, ETC.

p, =f(p} et le résultat entre deux valeur^ de p, p^*^ p^*^ on aura Taire du trapèze curyiligne, limité par la courbe et les trois lignes pW, ptO, pW.

215. Jngle de contingence de la courbe s. — Soient Q, cet angle de contingence et P le rayon de courbure correspondant; si aux trois sommets du triangle dont les côtés sont da, d(Ti, ds on mène {Jig. 78) des tangentes aux arcs, on forme un hexa-

Fig. 78.

gone dont la propriété, relative à la somme des six angles qui sont a, TT — I, TT — 9 — rf. <p. Il + rfo I H- 7r> P ■+• d^, û + tt, donnera Tune ou l'autre des relations

( 3 ) 12 =: I - I, -4- rfo ? ~ rf(3 = I — Il H- rf« — rfi ?,

dans laquelle il a fallu négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

Cette équation, lorsqu'on utilise la relation

peut s'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes suivantes : (3') Q i^I,rf^a+rf,(3 = o.

^ Cette formule fait connaître l'angle de contingence de la courbe s en fonction des angles de contingence des lignes coordonnées et des variations des angles que la courbe fait avec les deux lignes coordonnées.

Si l'on a égard aux formules (i) du Liv. III> Chap. II, on