GHÀPITHE T. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

224. Cas particuliers. — Faisons quelques hypothèses sur les valeurs particulières de m dans Téquation : I* Si m = — I , on trouve

p -h p, = consl.,

équation du cercle;

2^ Si m = o, ce qui revient à dire que les forces magnétiques sont constantes, on trouve Téquation

/ / . , -f- 1 r ^' . , = consi.,

J 2C0S7psinjp j acosjpiSinlpi

ou bien

tang - p tang - pi = const.;

3® Si m = I, réquation (2) devient

J sin'p J sin^p,

ou bien, après intégration,

cotp -4- cotpi = const.

225. Des courbes d'équilibre. — On appelle ainsi les courbes telles qu'un corps, sous l'action de forces données, reste en équilibre sur cette courbe, quelle que soit la position qu'A occupe sur cette courbe. Nous avons déjà établi les pro* priétés générales des courbes d'équilibre d'un corps soumis à l'action de plusieurs forces centrales agissant en fonction de la distance; supposons que le nombre des forces est réduit à deux /(p),/i(pi), on a l'équation

(i) //(p)rfp-^//(pt)rfpt = const.;

or un grand nombre de questions se réduisent à la précédente, et cela arrive lorsque les forces qui agissent sur le point, sans être dirigées vers des centres fixes, sont telles qu'on peut les grouper deux à deux, par celte condition que les résultantes

4o6 LITRE III. — COURBES EÀPP0RTÉE8 A DES COORDONNÉES» ETC.

de chacun de ces couples passent par un point fixe, et que leur intensité est une fonction de la distance du corps à ce point fixe.

Un cas curieux de cette réduction se présente lorsque Ton suppose que le point matériel est attiré suivant les deux tangentes menées de ce point à un ou plusieurs cercles. Examinons en particulier le cas de deux cercles de rayon m, mi, et dont les centres sont en F et F|. Soient / et t^ les tangentes à ces deux cercles et Vit), F(/i) les fonctions des tangentes qui représentent les lois des intensités. La résultante des deux forces F( /), qui agissent sur le point matériel suivant les deux tangentes / au cercle m, est dirigée vers le centre F et a pour expression

2F(/)cos(/, r) ou bien 2F(0-;

d'après cela, l'équation différentielle des courbes sera (2) F{O-rfr-f-F(0 -rfr. = o,

avec les conditions

226. Cas particuliers. — i« Supposons les forces proportionnelles aux tangentes, l'équation différentielle (2) devient

qui prend la forme

j j *dr ^ dri

rdr -h r, dr^ = m* h m? — :

l'intégrale, c étant la constante d'intégration, s'obtient sous la forme

r'4- rj -+■ c'= logr""'r*'^î.

2^ Si les forces sont en raison inverse des tangentes aux