CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

doûnée par son équation élémentaire et devient, dans ce cas, d'une grande utilité.

Pour obtenir les valeurs de ces coordonnées en fonction de €, il faut supposer Ae infiniment petit dans les formules du n"* 17 et alors on obtient les deux relations

re <p(e)sin^rfe,

l Xsine== roSin(e-- Co) -4- sin<? i <^{e)cosede

cose / 9 (e) sine Je.

On obtient ces formules directement, car on a jrrrrsine, X = a:— jcote.

22. Équations différentielles dans le système tangentiel. — Soient r, r-h dr deux rayons successifs, rfX la différence des X correspondantes ; ces trois lignes forment un triangle dont Je périmètre projeté d'abord sur Taxe OX, et ensuite sur une direction perpendiculaire au rayon r, donne les deux équations

(i2) d{s — r)=^d\cose^ rder=dXsine,

desquelles on déduit Téquation suivante

rf(rsine)

ds::^-:

sine

L'aire de ce triangle est la différentielle de Taire balayée par le rayon mobile r. Si on la représente par du, Ton a

(i3) duzrh-r'de.

Si Ton élimine d\ entre les deux équations (12), on trouvera la différentielle de l'équation (6'), et en ayant égard à la valeur de rfournie par cette équation, la seconde équation (12) coïncidera avec la différentielle de l'équation (7').

Interprétation des formules. — Pour inlerpréler géométri-

quement les équations (12), il faut remarquer que la dérivée j—

exprime le quotient de la vitesse avec laquelle le point d'in^ tersection B du rayon r avec Taxe fixe OX se déplace sur cél axe, par la vitesse angulaire du rayon mobile r autour de ce point. Ce rapport étant essentiellement linéaire, nous le représentons par D. La deuxième équation (12) montre que, si par le point B on élève une perpendiculaire à Taxe OX jusqu'à la rencontre du rayon de courbure de la courbe, cette perpendiculaire sera égale à D; elle exprimera le rapport des vitesses et la première des équations (12), qui devient

-r- = R — Dcose, de

montre que cette perpendiculaire intercepte sur le rayon de courbure un segment compté à partir du centre de courbure

dr égal à -T-> de sorte que cette dérivée représente la différence

entre le rayon de courbure et la projection de D sur le rayon de courbure. .

Intégrales des équations différentielles de la courbe. — Les coordonnées tangentielles se déduisent aussi de l'intégration des équations (12). La première de ces équations donne

(6'") rsine = l — si

sinerfe.

et en portant la valeur de r dans la seconde, on obtient, après intégration,

et il est aisé de voir que ces valeurs coïncident avec celles qui sont fournies par les équations (6') et (7').

De la normale à la courbe. — Si par un point pris sur la courbe on élève une perpendiculaire sur la tangente en ce point, cette perpendiculaire est la normale à la courbe. La