CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. Ii
longueur de cette normale est comptée à partir du point pris sur la courbe jusqu'au point d'intersection de la normale avec l'axe. Soit N cette longueur, il est visible que l'on a
N— riange=: / -,-sinede.
cose J de
Si, avec une ouverture de compas égale à R, on décrit du point pris sur la courbe comme centre un cercle, les deux segments déterminés par ce cercle sur la normale à partir du pied de la normale sont N -h R, N — R; or, si l'on remplace N et R par leurs valeurs tirées des formules précédentes, on trouvera la double expression suivante :
(i5 ) - N dr R =. d{rs^^^±o^'j) ,
aesinecos=f='e
dans laquelle les signes supérieurs ou bien les signes inférieurs doivent être pris ensemble. •
23. Courbe polaire des rayons égaux et parallèles. — Construisons la courbe dont les rayons vecteurs issus d'un point fixe soient égaux et parallèles aux rayons tangents r de la courbe donnée. Cette courbe aura pour équation l'équation (6'), dans laquelle r sera le rayon vecteur et e l'angle polaire compté à partir d'une droite parallèle à OX menée du point fixe. Cette courbe auxiliaire jouit de plusieurs propriétés par rapport à la courbe donnée.
i°Soit dsi l'élément d'arc de cette courbe auxiliaire ; a l'angle de la tangente en un point avec le rayon vecteur ; e^ l'angle qu'elle fait avec l'axe fixe; N sa normale, on a pour cette courbe les équations :
[i6) dr 3= ds^ cosa, rde z= rf^isina, dr — : rde cot«;
ds or, si Ton remplace dans la dernière des équations ('2) ^ par
dr sa valeur R et ^ par la valeur que nous venons de trouver,
on aura
(17) - racole -f- cota = —~ : •
r . sin^sina
Si l'on remarque que et = e -haei que -: — n'est autre chose
que la normale N à la courbe auxiliaire, l'équation précédente devient
(17') R sine — N sine,.
On conclut de celle équation :
Théorème. — La projection de la normale à la courbe polaire et la projection du rayon de courbure de la courbe donnée sur la direction de Va^ejixe sont égales.
Ce théorème donne immédiatement la construction géométrique du rayon de courbure de la courbe donnée, quand la courbe auxiliaire est connue, comme nous le verrons dans la suite.
2° Soit dui l'élément de l'aîre de la courbe auxiliaire, on a
duiz=z - r^de. Donc l'aire de la courbe polaire et l'aire de la
courbe donnée seront égales, ces aires étant terminées, ce qui est toujours possible, par deux rayons égaux et parallèles.
Ce théorème donne la quadrature de la courbe donnée au moyen de la quadrature de la courbe auxiliaire.
3° Si, dans la première des équations (12), on remplace dr par sa valeur tirée de l'équation de la courbe auxiliaire, on aura
(18) ds z=dsiCOsa -+- dXcose;
de là on conclut que les trois éléments ds, dsi, rfX sont tels, qu'en leur conservant leurs directions et leurs grandeurs un triangle est toujours constructible sur ces éléments, les angles opposés à ces éléments étant tt — e — a, e, a. On a donc aussi
ds^=ds]-h rfX^-h iidsidXcos{e -ha).
GHAPITRfi II. -^ SES COUBIIS RAPrORT^ES, ETC. aS
Ceci montre comment la rectification de ia courbe donnée se déduira de la rectification de la courbe auxiliaire.
§ III. — Application des théories précédentes.
84. Problème I. — Quelle est la CQurbe dont le rayon de courbure est égal à la projection d*une droite donnée de grandeur et de position sur la normale*-
Soit 2TO cette droite donnée; prenons pour axe OX I9 perpendiculaire menée par Tune de ses extrémités : si e est l'angle que la tangente à la courbe cherchée fait avec OX, on aura
Rzzz 2/ncos<?.
L'équation élémentaire de la courbe est donc
ds
de
Si l'on veut trouver les équations de la courbe dans le système rectangulaire, on fera usage des formules [4']. et l'on trouvera, après intégration et détermination des constantes parla condition que les coordonnées soient nulles en même temps que e^ les deux équations suivantes : •
j^rrz msîn'^, a: ~. me -\- mcosesine;
réiimînatlon de e entre ces deux équations conduit à Téqualîon de la courbe dans le système cartésien
qui est celle d'un cycloïde rapporté à son sommet. Si Ton emploie le système tangentiel, les coordonnées sont
Xî=me, r= ms\ne\
elles font reconnaître à l'instant que la courbe est décrite par un point de la circonférence du cercle dont le diamètre est m.
roulant sur une parallèle à Taxe OX, située à une distance m de cet axe, et le point décrivant coïncidant avec l'origine des X au commencement du mouvement. L'emploi de la courbe polaire auxiliaire est d'une grande utilité ; l'équation de cette courbe étant r = msine, on reconnaît qu'elle représente un cercle égal au cercle roulant, et dont l'origine des rayons vecteurs se trouve sur la circonférence ; par conséquent, si l'on identifie le cercle auxiliaire avec le cercle roulant e dans une de ses positions, on conclura, n° 23 :
i** Que la tangente à la cycloïde, ou le rayon vecteur de la courbe auxiliaire, est la ligne qui joint le point décrivant avec le point de contact du cercle avec l'axe OX ;
2® Que la normale de la courbe auxiliaire, ou bien le diamètre du cercle mené par le point décrivant, a sa projection sur l'axe OX, identique avec celle du rayon de courbure de la cycloïde en ce point; ce qui donne la propriété connue de ce rayon de courbure, ainsi qu'une construction simple de ce rayon, différente de celle qui résulte de l'équation élémentaire de cette courbe ;
3*» Que l'aire comprise entre la cycloïde, sa tangente et l'axe, est égale à l'aire du segment du cercle roulant, intercepté par la tangente à la cycloïde ;
4^ Que le double de cette tangente est égal à la longueur de l'arc cycloïdal correspondant. Celle dernière propriété est la conséquence immédiate de la formule du n° 23, relative à la rectification de la courbe donnée.
Toutes ces propriétés se présentent comme conséquences directes de l'emploi des coordonnées tangentielles et de l'introduction de la courbe polaire. Les constructions simples et déjà connues qui en résultent appartiennent donc à une théorie générale dont elles dérivent naturellement.
On déduit facilement de ce qui précède le théorème suivant :
Théorème. — Si un point d'une droite mobile reste sur une droite fixe, et que la droite mobile tourne autour de ce points de telle sorte que le rapport de la vitesse de translation du point à la vitesse angulaire de la droite soit constant^ cette droite enveloppe une cycloïde ^ et le diamètre du cercle générateur est égal au rapport des vitesses.
