CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC
25. Problème II. — Quelle est la courbe telle que les parallèles à une direction donnée ^ menées des différents centres de courbure^ interceptent sur les tangentes correspondantes, à partir du point de contact, une longueur constante D ?
Supposons que la direction donnée est perpendiculaire à l'axe OX; en conservant les notations précédentes, on aura
R = Dcot^.
L'équation élémentaire est donc
-7- =r D cote.
de
En faisant usage des formules [4']> on trouvera les équations de la courbe dans le système rectangulaire. Or, si Ton détermine les constantes par la condition que pour
ces équations sont :
yz=:zj)s\ne, x : — D f log tang -e -f- cose
Si Ton emploie le système tangentiel, les coordonnées X et /• relatives à ce système deviennent
r=D, X "DIoglang-e, tang-e--E^,
E étant la base des logarithmes népériens,
La courbe polaire auxiliaire est un cercle rapporté à son centre, et dont le rayon estD; ce cercle auxiliaire donne toutes 'es propriétés de la courbe cherchée. En effet, les valeurs de \ dans le cas où D est l'unité, n'étant autre chose que les nombres que Ton trouve dans les tables trigonométriques à la colonne des tangentes, correspondant aux valeurs successives
de Tangle - e, si Ton construit la valeur de X correspondant
à une valeur de -^, et que de l'extrémité de X on décrive le
cercle dont D est le rayon, le rayon de ce cercle, formant l'angle e avec Taxe OX, sera la tangente à la courbe, et son extrémité le point de contact. Si Ton se reporte aux théorèmes du n«23, Ton voit:
1" Que la tangente au cercle menée au point où il rencontre la courbe jusqu'à Tintersection de la perpendiculaire à l'axe OX menée par le centre du cercle n'est autre chose que le rayon de courbure de la courbe;
2" Que le secteur circulaire compris entre cette perpendiculaire et le rayon r que nous considérons sera Taire de la courbe balayée par le rayon mobile pour les valeurs de e comprises
entre - et - -t-^;
3® Que Ton a 5 = D log sin e, Tare de la courbe s étant compté à
partir de la valeur - de ^jusqu'à — he; elque, par conséquent,
dans le cas où Dest l'unité, les valeurs de s sont les nombres que Ton trouve à la colonne des sinus dans les tables trigonométriques correspondant aux valeurs successives de e. Corollaire. -— La valeur de X donne, par la difîérentiation,
de sine'
elle montre que la courbe que nous venons d'étudier est l'enveloppe d'une droite mobile tournant autour d'un de ses points, assujetti à se mouvoir sur une ligne fixe, de telle sorte que le rapport de la vitesse angulaire à la projection de la vitesse de translation sur la droite mobile soit un nombre constant.
26. Problème 111. — ^ Quelle est la courbe telle que la tangente terminée à un axe fixe est égale à la longueur que Von obtient en projetant successivement le rayon de courbure sur une direction parallèle à VaxCy et cette projection sur la direction d^ la tangente?
