CHAPITRE II. — DBS COURBES RAPPORTÉES, ETC
En conservant les notations précédentes, on a
ds
-r-cosesine=3 r.
Si dans cette équation on remplace -p par sa valeur donnée
par Va troisième des équations (12) du n® 22, on aura, après réduction, Téquation
rsxnede 4- cosedr^= o,
dont l'intégrale est
rcose =/?,
p étant la constante arbitraire introduite par Tintégratiom Si l'on a égard à cette équation, on obtient
ds p
de cos'esine
qui est Téquation élémentaire de la courbe cherchée.
En faisant usage des formules [4'] du n® 20, on trouve les équations de la courbe dans le système rectangulaire
j=:^tang^, ^ = plogtang^, tange = E?,
les constantes étant déterminées par la condition que, pour e égal à zéro, x devienne infinie eijr s'annule. L'élimination de e entre ces deux équations conduit à l'équation de la courbe entre les deux variables x, y. Cette équation est la logarithmique
dans laquelle £ est ïa base des logarithmes népériens. Dans le système langentiel, les équations de la courbe sont
X = p log tange — p, rz= -J-
La courbe polaire auxiliaire est une droite perpendiculaire
3o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
à Taxe menée à une dislance p du pôle. Les valeurs de X s'oblienneni comme dans le numéro précédent. Cela posé, si l'on construit la valeur de X correspondant à une valeur de e, el qu'on élève une perpendiculaire à Taxe à une distance p de l'extrémité de X, le rayon vecteur mené de cette extrémité comme pôle, formant l'angle e avec Taxe, sera la tangente à la logarithmique et rencontrera la perpendiculaire au point de contact; on voit ainsi, d'après le n°23 :
1** Que la normale à la courbe polaire auxiliaire étant la parallèle à l'axe menée par le point de contact jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire au rayon vecleur mené au pôle, cette parallèle est la projection du rayon de courbure de la logarithmique;
2° Que le triangle rectangle dont r est l'hypoténuse et p l'un des côtés de l'angle droit, et e l'angle compris entre ces deux droites, a une aire égale à l'aire balayée par le rayon mobile de la logarithmique, depuis e égal à zéro jusqu'à e égal à e;
3° Que si l'on fait usage du théorème (3) du n° 23, l'on aura
ds z= rfX cose -h dsy sin e.
et par suite
, pde smc ,
ds z=z !-, h p — -- de ;
sme ^co&'e
donc l'intégrale est
tang-^
s — 5o— plog h p ( )>
^ I '^ Vcose coseo/
tang-^o ^
So étant la valeur de s correspondant à la valeur e» de e.
27. Problème IV (généralisation du problème précédent). — Trouver la courbe telle que la tangente terminée à un axe fixe est dans un rapport constant avec la longueur que Von obtient en projetant successivement le rayon de courbure sur une direction parallèle à Vaxe, et cette projection sur la direction de la tangente.
