CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. 3l

Soit m ce rapport, on aura

ds

-î-cosesine=: mri de

ds or si l'on a égard à la valeur de -p donnée par la troisième des

équations (12), on aura Téquatîon

d{rs\x\eA cosV

rsine tang^

Soiim>i, Tintégrale de Téquation précédente est

rsine=:/> tangue,

dans laquelle/) est la constante d'intégration. On déduit sans difficulté les relations

sin'"-*^ V P . '^ / .lange

A=:mp —-5 X = — - — tang"-*e, v=('w— 0— : •

^cos'"-*-'e m— I ^ ' X ^ 'sine

Coordonnées rectangulaires. — On les obtient en faisant usage des formules [4']

X— — ^tang^-'e, y=^ pVàXiff^ey ar:==^\ ^' ) py"~y

Courbe polaire auxiliaire. — x^ = py"-^ parabole semblable à la précédente et semblablement placée.

Tangente. — Si Ton construit la parabole dont le paramètre

— ^3- ) p, et qu'on mène une tangente en un de ses

points jusqu'à la rencontre de Taxe de X, si d'une autre part on construit une parabole semblable et semblablement placée, ayant son sommet en X et un paramètre égal à p, la deuxième rencontrera la première en son point de contact avec la tangente.

Rayon de courbure. — La normale à la seconde parabole, terminée à sa rencontre avec la perpendiculaire au rayon r au

32 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS STSTllMES, ETC.

point X^ aura la même projection sur l'axe qu6 le rayon de courbure de la première parabole.

Quadrature, — L'aire de la première parabole, balayée par le rayon mobile r du système tangenliel, est égale au secteur parabolique compris entre Tare de la seconde parabole et le rayon vecteur r du système polaire.

Si Ton a m<:;i, on obtient une série de courbes hyperboliques qui se discutent de la même manière.

28. Problème V. — Trouver la courbe telle, que si l'on projette son rayon de courbure sur une direction donnée, cette projection sur la direction du rayon de courbure, la projection obtenue sur la direction donnée et ainsi de suite, m étant Je nombre des projections successives, on obtient une longueur constante b.

Équation élémentaire, -*- Ce problème donne une famille de courbes que l'on obtient en donnant à m toutes les valeurs entières possibles. Nous représentons dans ces différentes courbes les variables analogues par les mêmes lettres affectées de l'indice égal à la valeur de m propre à ces'courbes. Supposons de plus que, pour toutes ces courbes, ces variables correspondent simultanément aux mêmes valeurs de e, ce qui re^^ient à dire que l'on y considère des points pour lesquels les tangentes sont parallèles entre elles, nous appelons ces points points correspondants. L'équation élémentaire de la courbe

cherchée est

dsm b

de sin'"e

Rectification. — Sî l'on intègre par parties l'équation précédente et que l'on place l'origine des arcs aux points pour lesquels e=:-5 l'on a

cose m — 2

m — I sin"'~'« m — I

Cette équation peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

lU-iCOse ^ m — ïi

s fil — - - -T~ 0/|}2«