CHAPITRE II. — DBS COURBES BAPPORTtBS, ETC

Si Ton suppose m pair, on obtient

cosg Tp . ^ — ^ p . (m — 2)(m— 4) p m~iL m— 3 (m — 3)(m— 5)

Dans le cas où m est impair, on a

cosg [ p . ^ — 2 „ . (m — 2)... 5.3 p"!

Coordonnées rectangles, — Si l'on fait usage des formules [4'] et que Ton détermine les constantes par la condition que

pour e=:-> x«= et r«=o, on obtient

__ 6 I R „,sing

m — I sin""' e m — i

Coordonnées tangentielles.— Ces coordonnées sont données par les formules suivantes :

(lesquelles on déduit

•1= 5«-,cote, rm= -T-— •

m — I sm e

Normale. — Si Ton appelle N« la normale terminée à Taxe desj^, on a

sine m — 1 (m — i)sin«

Construction de la courbe, — D'après les formules préoé*^ dentés, on voit que l'arc Sm est une fonction linéaire des rayons de courbure menés en des points correspondants de la série des courbes d'ordre pair ou impair ; or les coordonnées rec-

tangles de la courbe de rang m sont telles» que Tordonnée est égale à l'arc du rang (m — i), et que Tabscisse est dans un rapport constant avec la projection du rayon de courbure sur Taxe des X ; par conséquent la construction de ces coordonnées ne dépend que de la construction du rayon de courbure. Il en est de même de la construction de toutes les lignes qui caractérisent la courbe. La construction du rayon de courbure est elle-même d'une grande facilité, puisqu'elle ne dépend que d'une série de perpendiculaires élevées successivement sur les deux côtés d'un angle égal à ^, à partir du point distant du sommet d'une longueur h prise sur l'un des côtés; comme cela ressort de la dénnition«élémentaire de la courbe.

Parmi les propriétés convmunes aux courbes de cette famille il faut distinguer celle relative à la normale N«.

Dans chaque courbe, le rayon de courbure est à la normale dans un rapport constant qui est toujours un nombre entier, et l'abscisse est toujours égale à la projection de la normale sur l'axe des x.