Des courbes les plus simples contenues dans la famille
-Tf^= . ^ • — Ces courbes correspondent aux hypothèses: ae siii e
Celte hypothèse donne l'équation élémentaire du cercle n" 20. Les coordonnées tangentielles sont
Xo= --: j ro= — c^cot^.
sine
La courbe polaire auxiliaire est y* + x^jr^ — b^*x^=: o.
dsi b , , e
2*» m = ï; y-=:— — , 5,= ologtang-*
de sine ^ ^ 1
Les coordonnées rectangulaires sont :
Xx:=b{\ H- logsine), J,=:6(e )•
^PITRB il. — Des courbes RAPPOBTfiES, ETC. 35
Les coordonnées tangentielles
X,= A(n- logsine) — 6(e J cote, r, ==
sine
On déduit des formules précédentes les relations suivantes :
dans lesquelles a représente la base des logarithmes. La première est l'équation de la courbe entre les coordonnées rectangles Xiy fx; la seconde est Téquation de la courbe rapportée à l'arc et à Tabscisse.
L'équation polaire des rayons égaux et parallèles est
m = 2; -T- = ... y *,= — bcoXe; de sm* e
^j= -. — > j,= 6tang--,
sin e '^ ° 2
t e élogUng-
X2= h b cote log tang - » r, = :
sme " ° 2 sme
On déduit de ces équations
qui est l'équation de la chaînette entre les coordonnées rectangles.
L'équation polaire des rayons égaux et parallèles est
T \j 6 *^^ de sin»e 2\sin*« ® ^2/
Fig. 7.
asin'e
> j8= — 6coie;
V ^( *5 \ . cose
de ces équations on déduit Téquation delà courbe rapportée à ses coordonnées rectangles
elle représente une parabole.
La courbe polaire des rayons égaux et parallèles est encore une parabole dont Téquation est
j^= — bx.
Il serait facile de vérifier les différentes analogies ( n^ 23) qui existent entre ces courbes et les courbes polaires correspondantes des rayons égaux et parallèles.
Lorsque m est négatif, Téquation élémentaire relative au problème précédent devient
de
= fesin"*^;
elle correspond à un nouveau problème qui se traite d'une manière analogue à celle que Ton a employée; elle conduit aussi à quelques résultats intéressants.
CHAPITRB II. — DES 6OURBES RAPPORTÉES^ ETC. 3*]
30. Problèhb VI. — Trouver la courbe telle, que son nijron de courbure soit proportionnel au cube de la normale terminée à une droite Jixe.
Prenons celle droile pour axe de X ; soit ^ la normale, ^ le rayon de courbure > m un nombre conslanl; on a, d'après l'énoncé du problème.
Si = mX*.
Nous avons précédemment trouvé les deux relations
X= — rtange, ^ = -A — r-^;
° smede
en ayant égard à ces valeurs» la relation précédente devient
sxnede d(rs\ne)
cos*e r'sin'e
Celle équation, dont les deux membres sont des différentielles exactes, s'intègre directemeni, et l'on trouve, en représentant par / la constante introduite par l'intégration, l'équation suivante
r»sin'e cos'e Si l'on pose
cette équation devient
i*coséî
rsme=: —
V^a'sin'e 4- fc^cos'e
portons cette valeur de r dans la deuxième équation (12) du n"* 22 et intégrons l'équation résultante, nous trouvons
X sin« r=: v^a'sin'e -4- é'cos'tf.
38 LIYAS I. — GOUHBSS BAPPORTÉES A BITEBt STSTftiBSy ETC.
Le radical représente la perpendiculaire abaissée de Torigine sur la tangente. Soit D cette perpendiculaire ; en portant les valeurs de r et de X dans les expressions du rayon de courbure a et des coordonnées rectangles x et x> on trouve les relations
a'6' X as'ine y 6cos« x'^ r*
Il serait facile de déduire des formules que nous venons de trouver les propriétés de la tangente et du rayon de courbure de la ligne qui est une conique.
31. Propriétés du rayon de courbure. — Contentons-nous de signaler quelques propriétés du rayon de courbure; rapportons la courbe à ses coordonnées polaires p et 0» nous obtenons l'équation
I cos*0 sin'S
or l'équation du rayon de courbure peut s'écrire sous la forme
cos'a sWe
il résulte de là que, si a' est le demi-diamètre parallèle à la tangente à la courbe au point où le rayon de courbure est A, on aura les deux relations
on déduit de là les deux propositions suivantes :
1° Ze rayon de courbure en un point d'une conique est pro^
portionnel au cube du diamètre parallèle à la tangente en ce
point.
2* La normale en un point est proportionnelle au demi-dia-
mètre parallèle à la tangente en ce point.
Il résulte de là que toute relation homogène entre divers
demi-diamètres d'une conique existera aus§i entre les racines
