CHAPITRE II. ~ DES C0UEBB8 RAPPORTÉES» ETC

Si l'on remplace celle valeur de -r- dans la deuxième équation (la), on irouve l'expression

bsxnasiTïe

[sine — asin(e — a)]'

En porlani celle valeur de r dans la iroisième équalion (12), on oblienl, réductions failes, Téqualion

ds nabsin^a

de [sine — asin(e — a)]*

Après avoir développé sin(e — a), posons

asina

I — acosa

P étani un auxiliaire ; on aura ds ^absin^ac

= lang(3,

de sin'(e -f- p)

X (n-a'— aacosa) '.

Celle équalion esl Téquaiion élémenlaire de la parabole (n" 29); elle donne la valeur du rayon de courbure en un point quelconque, el les valeurs de X el de r sonl les coordonnées langeniielles de celle courbe par rapport à Taxe OX.

36. Problème IX. — Trouver lu tangente et le rayon de cour* hure de l'enveloppe de la droite qui intercepte sur deux axes OX, 0X1 , deux segments X, Xi liés par la relation

X^ XX, Xî ^ X ^ X, '

dans laquelle les numérateurs sont des constantes.

Nous conservons la même notation que dans te numéro précédent. Éliminons X, de celle équation, au moyen de la se* conde des équations (19), nous obtiendrons

X'sin'e — Xsine(Dsin6 -4- Esin^,)

— (A'sin'e -f- B'sinesin^, -+- Osin'e,) = 0;

44 LHRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIYSR8 STSTftKBSy ETC.

pour abréger, posons

(D'-4-4A») = /S DE-4-2B'=mS E»-+-4C«=nS ^^=z,

^ sine

la résolution de l'équation précédente donnera la relation

2X = (D-f-Ez)±a.

Si Ton remarque que -r- = . ^ > la dérivée de l'équation précédente sera

. sing /p.^ m»H-n'g \ sin^e \ ^ y'

(fX sina de

or la troisième formule (12) peut s'écrire sous la forme

rft

de sine '

par suite, après avoir substitué la valeur de -7— dans cette équation, on obtient la relation

a^sine = d=s.n«3^(^— jp-j,

et finalement

rfs . sin'a(ii'/*— m*)

de

(/*sin'e + 2m*sine,-f- Ti'sin'ei)'

Cette équation donne l'expression du double du rayon de courbure, el l'on reconnaît que l'enveloppe cherchée n'est autre chose qu'une conique (n* 30).

Quant au rayon tangentiel r, on l'obtient en multipliant la

valeur de --r- par sine.