CHAPITRE II. — DES COURBES RÀPPORTfiES, ETC

De réquation proposée Ton déduit^i z=nu-h s», s» étant la constante introduite par l'intégration.

Ces équations donnent les proportions

y^ — y» Xy — ^» *i — ^t y X s

Jires balayées par les rayons de courbure correspondants, — Soient di^,, di^ les deux aires élémentaires correspondantes, on aura

Vt étant la constante introduite par l'intégration.

Jires balayées par les rayons tangent iels r, rt, — Soient dui, du les deux aires correspondantes, on aura

rftt, z= - ( mr -+- -r-^ ) de, 2 \ sine/

Développant et simplifiant, on obtient Téquation

f . f I tJ j my^rde

dut=z m^du H Ht de H '^ 5

2 sin'e sme

remplaçant dans le dernier terme r par sa valeur --r- sine et

intégrant, on trouve la relation

w, — m^u=^ jJcote-f-mjoX H- «•,

u« étant la constante introduite par l'intégration.

Ces formules montrent comment on obtiendra, au moyen de l'une des deux courbes, toutes les grandeurs qui caractérisent l'autre courbe.

38. Des courbes parallèles. — Deux courbes sont parallèles lorsque leurs rayons de courbure parallèles ne diffèrent que par une constante.

Conditions pour que deux courbes soient parallèles. — Soient », r, X Tare et les coordonnées tangeniielles de l'une des deux

48 LIVRE I. — COURBES RAPPORTfiES A DIVERS STSTfcXBS, ETC.

courbes, ^t, ri, Xi les lignes correspondantes de la courbe parallèle ; soit OX Taxe commun auquel ces deux courbes sont rapportées; la condition donnée par la définition même des courbes est

dsx ds

de de ^ ^

n étant un nombre constant. Si Ton a égard aux équations (12), cette équation devient

rf(r,sine) z=d(rslne) -4- nsïnede;

si Ton intègre et qu'on représente par /« la constante introduite par Tintégration, on aura l'équation

(r, — r) sine = Xt — ncose ;

or cette équation, quand on y remplace r, et r par leurs valeurs (12), devient

j/v VN Tt^^ ncosede

rf(X,— X) = ^^— — — -,

' sm'e sin^e '

en l'intégrant et en représentant par x^la constante arbitraire, on obtient finalement la relation

sme sme

De ces équations on déduit les conditions de parallélisme des courbes qui se rapportent à leurs coordonnées rectangles, qui sont

Xi — y= — ncose -4-/t, Xi — x = usine ^ x^.

Rectification des courbes. — Si Ton intègre l'équation relative aux rayons de courbure, et qu'on représente par s. la constante introduite par l'intégration, on trouve

*i — 5 = ne -+- 5i ;