CHAPITRE II. — BES COURBES RAPPORTÉES» ETC. 6l

ds 5° Développée de la courbe -r- r= D coie. — Celle courbe,

que nous avons trouvée au n** 25, a pour développée la ligne dont réquation naturelle est

ds, D

rfe, cos*e,

c'esl-à-dire une chaînette (n** 29)

6"* Développée de la parabole, — L'équalion naturelle de la parabole est (n*» 29)

ds h

de sin*e'

réquation naturelle de la développée sera donc

dSi - . sin ey

dei cos*e,

Or, d'après le n° 27, celle-ci est réquation naturelle de la courbe x^=py^, qui représente une parabole semi-cubique. Nous ne poursuivrons pas davantage ces recherches, quelque intéressantes qu'elles soient, parce qu'elles ne présentent aucune difficulté.

H. Des déi^eloppées successives d'une courbe, — Si Ton prend la développée de la développée d'une courbe, on aura la développée seconde de cette courbe ; si l'on prend la développée de la développée seconde, on aura la développée troisième, et ainsi de suite.

Deux développées consécutives sont placées de la même manière lorsque le mouvement d'un point sur la courbe proposée produit simultanément sur ces deux développées le développement du fil enroulé sur ces courbes. Les développées consécutives sont inversement placées lorsque, par suite du mouvement d'un point sur la courbe proposée, le fil se développe sur Tune des deux développées et s'enveloppe sur l'autre. Dans le premier cas, les deux rayons de courbure de ^a courbe proposée et de sa développée croissent en même

temps avec Tare de la courbe proposée; dans le second cas, ces deux rayons de courbure sont F un croissant et Tautîre décroissant lorsque Tare de la courbe proposée est croissant. Équation élémentaire de la développée de l'ordre n, — Nous conservons, pour représenter les lignes qui caractérisent une développée quelconque, les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans la courbe proposée ; mais, pour les distinguer, nous les affectons de Taccent qui marque le rang de la développée ; d'après cela, on aura les équations

dl^.—dzds^y rfR, =zhûf5j , dR(n^t) =±ds„;

Rrfe .-=: ds, Rt^^i = dsi, . . . , l^nden = ds^y

auxquelles il faut joindre les relations angulaires