CHAPITRE m. — DEUXIÈME STSTÈBE DE GOOEDONNÉES9 ET

ds meni sur la courbe ^ = R, rapportée à un axe OX tangent à

celte courbe en son origine 0, D étant une fonlion de a el

Fig. 9.

R une fonction de e. Si Ton admet qu'au commencement du mouvement les origines et 0' coïncident ainsi que les axes OX et O'X', il est visible que, ds et dsx étant égaux, on a la relalion

(10) Rrfe=Drfa;

or, si par le point de contact des deux courbes on mène une parallèle à Taxe mobile O'X', en appelant e Tangle qu'elle fait avec Taxe fixe OX» on aura Téquation

(n) t=:€zç.ay

le signe supérieur se rapportant au cas où les convexités des deux courbes ont le même sens, et le signe inférieur au cas où les convexités sont de sens contraires. On aura donc pour l'enveloppe de cette droite les équaiions (i).

Secoi^de question. — Une courbe roule sur une autre courbe, enveloppe d'une droite située dans le plan de la courbe roulante.

Si l'on considère les deux courbes comme deux polygones infinitésimaux dont les côtés qui doivent se placer successivement en coïncidence soient égaux, on voit qu'entre les

74 LITRE I. — COURBES RAPPORTÉES i. DIVERS SYSTÈMES, ETC.

coïncidences consécutives des deux côtés d'un angle du polygone mobile avec les deux côtés de Tangle correspondant du polygone fîxe il y a rotation de la ûgure mobile autour du sommet commun des deux angles; on déduit de là les propositions suivantes :

1® Les différents points de la figure mobile décrivent autour du sommet commun de ces deux angles des arcs infiniment petits de cercles.

2<* Toute droite située dans le plan mobile demeurant, pendant le mouvement inflnitésimal, à la même distance du centre de rotation, reste tangente à un cercle dont le centre est le centre de rotation, et, par suite, cette droite touche son enveloppe en un point qui est le pied de la normale abaissée du centre de rotation sur la droite.

De là résulte que, si par le point 0' on mène O'M perpendiculaire à O'X' dans le plan de la figure mobile, l'enveloppe de cette perpendiculaire sera déterminée par les pieds des normales abaissées des différents points de contact des deux courbes sur la droite O'M; or ces normales coïncident visiblement avec les parallèles menées des mêmes points à Taxe O'X'.

On conclut que Tenveloppe de la perpendiculaire à O'X', menée du point 0' dans le plan de la figure mobile, est la développante de l'enveloppe des parallèles à O'X' menées des différents points de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe, puisque, dans toutes les positions, la tangente de la première enveloppe est perpendiculaire à la tangente correspondant à la seconde enveloppe. On déduit de là le théorème suivant :

Théorème. — Deux courbes sont telles que leurs équations naturelles sont -y-^ rr: D, -r- = R par rapport aux deux

droites O'X', OX, qui leur sont tangentes chacune à chacune y la première au point 0', la seconde au point 0. On fait rouler sur la seconde courbe la première, de telle sorte qu'elle entraîne dans son mouvement une droite perpendiculaire à O'X', les points de contact et 0' coïncidant à Vori^