CHAPITRE III. — DEUXIÈBB ST&TÈHE DE COORDONNÉES, ETC

gine du moui^ement ; l'enveloppe de cette droite sur le plan fixe a pour développée l'enveloppe d'une droite dont un point

parcourt la courbe f -7- = R |, et tournant autour de ce point

par cette condition, que le quotient de la vitesse de translation par la vitesse de rotation par rapport à la tangente soit égal AD.

L'enveloppe de celte droite mobile est donc une courbe déterminée et complètement définie dès que les deux courbes

(^ = R]> f-T-^ ~-'^) ^^^^ données; nous rappellerons, pour abréger, la résultante des courbes (R) ef (D).

51. Courbe polaire indicatrice. — On obtient cette courbe en menant d'un point des rayons égaux et parallèles aux rayons tangentiels. Elle a évidemment pour équation

(>^) '•^rTd'^^^'

dans laquelle le second membre est exprimé en fonction de e, /•est le rayon vecteur, e Tangle polaire compté à partir d'une parallèle à l'axe OX.

I** Soit ds' rélément d'arc de cette courbe, a» l'angle de sa tangente avec son rayon vecteur ( e» l'angle qu'elle fait avec l'axe fixe), ^1 la normale, on a

dr (i3) dr:=ds' cosai, r de =^ ds' sinut y cotai=:=-^--

dr ËllDoinant —^ entre cette dernière équation et l'équation (4)»

on trouve

114) —= cota + cota, = — -. ^5

r smasma,

or (a + ai) est l'angle que la tangente à cette courbe polaire fait avec la tangente correspondant à la courbe directrice PQ,

76 LITRS I. — COURBES RAPPORTfiES À DIVERS SYSTÈMES^ ETC.

et, d'une autre part, X, est égale à —, — : on a donc

(i4') usinai = X, sin{a4-ai).

On conclut de celte équation le théorème suivant :

Théorèue. — Si Von projette la normale à la courbe polaire et le rayon de courbure de la courbe mn sur la tangente correspondante de la courbe directrice, ces deux projections sont égales.

Ce théorème donne immédiatement la construction géométrique du rayon de courbure de la courbe mn quand la courbe polaire auxiliaire est connue.

2** L'aire de la courbe polaire et Taire de la courbe mn sont égales^ ces aires étant terminées, ce qui est toujours possible, par deux rayons égaux et parallèles.

3** Si dans la seconde équation (i) on remplace dr par sa valeur tirée de l'équation polaire auxiliaire, on aura

(i5) rf(T = ds cos«, -f-rf^cosa;

donc les trois éléments rfo-, ds'^ ds sont toujours tels, qu'en leur conservant leur grandeur et leur direction un triangle se trouve construit sur ces éléments. Les angles opposés à ces côtés sont Tz — a — ai, a, a^.