CHAPITRE Ili. — DEUXIÈME STSTÏME DE COORDONNÉES, ETC

cercle remplit les conditions de la droite mobile du problème, pourvu que le point ûxe se trouve sur la normale à la directrice à l'origine du mouvement. Nous voyons donc que l'enveloppe de cette droite mobile n'est autre chose que la développée de la courbe étudiée dans le problème précédent; de là nous tirons le théorème suivant :

Théorème. . — L'enveloppe d'une droite mobile autour d*un de ses points, tandis que ce point décrit une courbe St par la condition que le rapport de la vitesse de translation du point à la vitesse angulaire de la droite par rapport à la directrice soit constant Di, est la développée de Venveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, tandis que ce point décrit une courbe s parallèle à la courbe Si à la distance D„ sous cette condition, que les vitesses de translation et de rotation soient dans un. rapport constant Di»

L'équation du rayon tangentiel r, de l'enveloppe est la suivante :

, ,, sin^i I I

Rayon de courbure. — On peut l'obtenir de deux manières : ou bien en supposant que Di est constant dans la formule (6') du n* 48, ou bien en prenant la dérivée de Jl par rapport à e de la formule (7) du n" 55, en ayant égard aux équations {2 )

du présent numéro et à la relation a -f- a, = - -, on trouve ainsi

l'expression de ^1, rayon de courbure de la ligne 5,,

(5) ^, — -— !-) COSfl, H :- Sina,,

qui se construit facilement d'après la règle donnée dans le n°48.

Rectification. — Soit rfo-| l'élément de l'arc de l'enveloppe, l'équation (4) du n'^ 48, dans laquelle on supposera ds, égale à D,rfa„ donnera, par une simple intégration, (o-,)», (r,)o, (ai), étant les valeurs initiales de o-,, r„ a,, la relation suivante :

(6) (7, — ((7,)^— r, — (r,)o-t-D, [sina, — sin(a,)o].

Quadrature. — Si, dans la formule (3) du n** W, on remplace r, et 6 par leurs valeurs tirées des équations (4) et (3) du présent numéro, on aura

dans laquelle les variables sont séparées, puisque Ri est une fonction connue de e,

57. Problème VI. — Enveloppe d'une droite mobile autour d'un de ses points, tandis que ce point décrit^ une courbe donnée, les vitesses angulaires de la droite et de la tangente à la directrice étant dans un rapport dont la loi est donnée.

Coordonnées tangent ielles. — Soient Téquation élémentaire de la courbe et le rapport des vitesses

ds ^ de 1 -\- m

.de da m

R étant une fonction de e et m une fonction dé a. De ces deux équations et de la condition

e r - a -h e, on déduit

J' R de, da — m de, de=^{m-i- i)de,

La première équation (i) donne

ds R r ds R .^

de m H- 1 sm a da m

et conséquemment

(3) r:^::^ SlU fl.

Cette dernière équation montre que le rayon de courbure de la directrice et la normale à cette courbe sont dans un rapport égal à (i + m).