Problème VII. — Enveloppe d'une droite dont un point
décrit une courbe donnée ( — = R j par la condition que le
rayon tangentiel de cette enveloppe soit la projection de l'ordre m du rayon de courbure de la courbe donnée sur la direction de la droite.
Coordonnées tangentielles. ~ Les données de la question
CHÀPITRB ni. — DECXIËMB STSTftHE DE GOOR]X>NNiBS9 BTG. 98
sont les deux équations
(i) -T- = R, r=Rsin"a ou bien N =::Rsin'"-'a,
R étant une fonction de e, <p(e).
On obtient, en opérant comme précédemment, les équations
\s= j Rrfe, rfe = sin"^*arf6, daz=de(i — sin'""'^), 1 r^ sin"^'flrfg
Il résulte de ces équations que 5 et r sont connus en fonction de a.
Rayon de courbure. — On trouve sans difficulté
^= -, — (i-r- ni)r—' m^— : — cosa -h R' p, . , sina, sinaL RsinaJ R^sin^a
A = sin"^* a I [( I -f- m) — m sin"-*a] R cosa -4- sin"^'a R'sina j.
Le rayon de courbure Si est donc la projection sur la normale à Fenveloppe de la somme des deux côtés d'un angle droit, dont les directions sont celles de R et de — R', et dont les longueurs sont égales aux coefficients du cosinus et du sinus dans l'équation que nous venons d'écrire.
Rectification. — On trouve l'équation suivante, dans laquelle les variables sont séparées
J^^ / r^ s\n"^' a da \ sin^-'acosarf/i ^ ^\Ja I — sin'—'aj 1 — sin"-' a
qui ne dépend que des quadratures.
Cas particuliers. — Examinons les hypothèses suivantes : i« m = 0. Dans ce cas, on a les relations
ds r , ^
de sma
L'enveloppe est donc la développée de la courbe donnée.
94 UyVCR U — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTfcXBS, ETC.
2° m = I. Celle hypolhèse donne les équalions
r = R sin a, de ==: de, a = consl.
L'enveloppe esl donc la développée oblique de la courbe. 3° m :::= 2. On oblienl les équalions
r==Rsin*a, da = {i—' sina]é/e,
^ = sin*a (— 2 ) Rcosa -f- R'sina l-
LVsina / J
Si Ton représenle par e^ el a, deux valeurs correspondantes de £ et de a, la deuxième des équations précédentes étant intégrée donne les deux relations
e — eo — cot-f a] — cot-( aAj
sin-(a — flo)
sin
4*' m = 3. Celte hypolhèse donne les relations angulaires
, da sin(a — a,) sin(a— «o)
«6= —y e — eo= — ^ î e-—B^= a,
cos'a cosacosag cosacosa»
el les relations linéaires
r = Rsin*a, ^ = sin'a ( -~ 3sinû|Rcosa4- R'sina);
5*» m = — I . Dans ce cas, les relations angulaires sont , Sa correspondant à la valeur nulle de a,
J sin^ada
ae = ; — 5 g g -f. fl — tanga, Eo — c = tanga,
cos'a D » • o *
et les relations linéaires sont
rsina = R, Jl= . , (Rcosa-h R'sin«).
sm*a
GHÀPITKli IH. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES, ETC. 95
II est inutile de poursuivre ces applications, qui ne présentent aucune difficulté, et qui conduisent à des expressions d'une construction simple.
§ II. — Des épictcloïdes et des hypocycloïdes.
59. De Vépicycloïde. — On appelle ainsi la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur un autre cercle et extérieurement.
Si Ton suppose que, dans le n" 56, la courbe directrice est. un cercle de rayon R, la courbe parallèle intérieure, dont le rayon de courbure sera Ri = R — N, deviendra un cercle concentrique au premier. La courbe sera une épicycloïde décrite par
le point A de la circonférence de cercle dont le rayon est - N,
Fig. 13.
roulant sur un cercle dont le rayon [fig. 12) est 0R„ le point décrivant A se trouvant en R à l'origine du mouvement.
Coordonnées tangentielles. — Elles sont données par les équations du n® 55
\ r = Nsina, AM = Ncosa.
Rayon de courbure. — Ce rayon est donné par Téquation
{1) a = (R— -^-jcosa.
Équation élémentaire. — Elle peut s'écrire sous Tune des deux formes suivantes
Rectification. — L'intégrale de la première des équations (3) donne
/,v R* — RJ . R, T^-R-f-R» . R 4- Ri
(4) (7= — ^ — ^smg-c, o' — N— j^ — sina, (7= —r^ — r.
Quadrature. — La formule qu'on obtient pour exprimer la différentielle de l'aire balayée par le rayon tangentiel r est
rfM = - :p- (R— R,)*sin»£irfa; si on l'intègre, on obtient la relation
M = - p- (R — Ri)*(a — cosasina).
Or, si l'on remarque que Si = Na, cette équation peut s'écrire sous la forme suivante
(5') .„ = «.N..-|^Ar.
Il est facile de reconnaître que le rapport du rayon de courbure de la normale AM, que nous représentons par n, est
