PROPRIÉTÉ DONNÉE

64. Problème I. — Étant donnée une courbe [fig* i5) --r- =:A, ^ étant une fonction de e, on prend sur les différentes tan-

Fig. i5.

gentes, à partir des points de contact, des longueurs constantes égales à by lieu des extrémités de ces longueurs.

Io8 LIVRE I. COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

Tangente. — Les données sont

La troisième des équations (i) du n"* 62 donne (2) fr = Atanga.

Cette équation donne la tangente à la courbe polaire; elle montre que Thypoténuse du triangle rectangle, dont les deux côtés sont Jl et é, est la normale à cette courbe.

Rayon de courbure, — Si Ton a égard aux équations précédentes, la formule (6') du n"" 63 devient

, I ^ I sinacosa^'

^ ^ Rcosa "" s; W~

Or sina cosa^' est la longueur que l*on obtient en projetant ^ sur la direction de la normale à la courbe polaire, et cette projection sur la normale à la courbe des pôles; le dernier terme de Téquation précédente est donc l'inverse de la troisième proportionnelle à Jl et à cette projection.

Soit [LC cette troisième proportionnelle comptée à partir du pôle jEx sur la normale à la courbe des pôles, ^i^i le double de son rayon de courbure» et /xRi la projection de la>projection du rayon de courbure R sur cette normale. L'équation précédente devient

/ui^i ^R| /xc*

Donc les quatre points |x, tR,, R,, c forment une proportion harmonique : ce qui donne la construction du rayon de courbure de la courbe polaire.

Si Ton veut exprimer le rayon de courbure en fonction de l'angle polaire e, on fera usage de la formule (6") du n" 63, et on trouvera l'expression

CaiPITtE ly. — NOUTELLES GOORBONNÉES, ETC. lOg

Théorèmes résultants. — Soit N la normale à la courbe polaire, on a N'— b^-\-Si}y et l'équation (7) du même numéro donne

da ^'sina

ds'" N' '

si Ton se reporte aux théorèmes du n*» 50, on tire de celle équation la proposition suivante : Si V on faisait rouler sur la courbe polaire une courbe dont le rayon de courbure serait une troisième proportionnelle à^ et à la projection de S<! sur la normale à la polaire^ la droite^ déterminée dans le plan de la courbe roulante, de manière à être perpendiculaire ^ dans une position initiale, à la tangente de la courbe polaire, aurait pour enveloppe une développante de la courbe des pôles.

On voit aussi qu'il en résulte ce théorème : Si, par le point de contact de la tangente à la courbe des pôles, on élève une normale, et que, la normale et la tangente formant un système rigide, la normale roule sans glisser sur la développée de la courbe des pôles, l'extrémité de la tangente engendrera la courbe que nous étudions.

Il résulte encore de là cette troisième proposition : Un point A, pris dans le plan de ces deux droites, engendre une courbe de même espèce que la courbe étudiée.

£n effets de ce point, abaissons une perpendiculaire à la normale; le pied de celle perpendiculaire engendrera, par rapport à cette courbe parallèle, le lieu des extrémités des tangentes de longueur donnée.

Quadrature. — L'une des formules du n® 46 donne

du— b^dt;

d'où l'on tire l'équation

(6) • u — Wo=~é^(e-- «o).

Vaire balayée parle rayon tangentiel est égale à l'aire d'un secteur circulaire dont le rayon est b, et l'angle (e — e») : ce qui est conforme aux formules du n® 44.

no LITRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTÈMES, ETC.

Rectification. — La différentielle de l'arc est donnée par la formule

(7) ds'=:^{r'-^êi.')de\

laquelle dépend de la nature de la fonction de e qui donne la valeur de ^.

Équation élémentaire de la courbe. — Elle s'obtient en remplaçant dans l'équation précédente, ou bien dans l'équation qui donne le rayon de courbure, e par sa valeur en fonction de e; or on a la relation

a =: arc I cot — -^-r~- |> et par suite

(8) e =^ e -h arc fcot^ ^-^H ;

e est donc connu en fonction de e.

65. Problème IL — La courbe des pôles est donnée; trouver la polaire telle, que sa sous-normale soit constante.

Coordonnées tangentielles. — Soit b la sous-normale {Jlg. 16);

Fig 16.

les données de la question sont

dcr ^ ,

( I ) -3- = ,R, r =r 6 tanga.