CHAPITRE lY. — MOUYELLES COORDONNÉES > ETC. I I I
La première donne la rectification de la courbe; car si on l'intègre, et que 0*0 soit la valeur de o- correspondant à la valeur nulle de e, on trouve
(2) <7 — <7,= j arfc.
La troisième des équations (i) du n® 62 devient (3) d{r-h (T)^bde;
or on obtient par intégration
r — To-f- 0-— 0*0-- 6e,
X* dr
Slde, ^^(&— a).
Les valeurs de o* et de r sont donc connues en fonction de e.
La construciion de la tangente se déduit de la seconde des équations proposées.
Rayon de courbure. — Si Ton différentie la deuxième des équations proposées, et qu'on ait égard à la deuxième des équations (i) du n<^ 62, laquelle devient, par suite de l'équation (3) du présent numéro,
bde=: dscosa, on trouve les relations
rfa cos^ . I b{b — êi) .
On déduit de là la construciion suivante : Par l'extrémité du segment b — «^, menez une parallèle au rayon tangentiel, elle détermine sur N un segment tel que la troisième proportionnelle entre N et ce segment sera la longueur D, cette longueur ayant son origine au point m pris sur la courbe polaire,
La proportion harmonique détermine le centre de courbure, par une construction analogue à celle du numéro précédent.
L'équation du rayon de courbure est, d'après la formule (6' )
lia LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
du n» 63,
el d'après la formule (6") du même numéro.
Les différentielles de l'arc et de l'aire sont. données par les équations
ds — de \/*'-+- ( rû4- be—j Ade) > I du=z-{ ro-h be— j êide) de,
dans lesquelles les variables sont séparées.
66. Problème III. — La courbe des pôles est donnée; trouver la polaire telle y que la sous-normale soit dans un rapport constant avec la somme du rayon tangent iel et de rare de la courbe des pôles.
Coordonnées du point. — Les données de la question sont
(1) Te=^' S„=.— ^-m(r-f-a;,
m étant une constante. On déduit de ces équations les suivantes :
(2) (7— o-„:=^ Ade, r-f-(T~{ro-l- o-ojE"*',
E étant la base des logarithmes népériebs, r^ et Co les valeurs de r et de 0- qui correspondent à la valeur nulle de e. Ces équations donnent les coordonnées tangentielles en fonction de l'angle polaire e.
