Problème IV. — Étant donnée la courbe -r- r= Jl, trouver
de
ses développantes.
I l4 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTÈMES, ETC.
Supposons qu'un fil attaché par son extrémité à l'origine de l'arc d'une courbe s'enroule sur cette courbe dans le sens des arcs positifs, sa longueur étant fr, l'extrémité de ce fil engendre la développante. Les données de la question seront donc
de
On déduit de ces équations les coordonnées de la développante dans le nouveau système tangenliel; ces coordonnées sont
(2) (7--/ éide, ;---&—/ Jlrfg.
Jo Jo
On déduit des équations (i) du n° 62 les suivantes : ( 3 ) cosa r o, r ^ R - - N, e r- — f- e ;
les propositions suivantes en dérivent :
I** La développante est normale au rayon tangentiel;
2® La normale à cette courbcy le rayon tangentiel et le rayon de courbure se confondent en une seule et même ligne droite.
La rectification et la quadrature de la développante sont données par les deux équations
(4) s--.be— I de I Jlc/e, w -r i / (b—f Adejde.
Jo Jo '^Jo \ Jo /
L'équation élémentaire de la développante est
(5) $-^ft~r ^^de.
68. Problème V. — Trouver les développantes d'un ordre quelconque.
Si l'on prend la développante de la développante d'une courbe, on aura la développante du second ordre de celte
