CHAPITRE lY. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

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courbe. Si Ton prend la développante de la développante de Tordre n — i, on aura la développante de Tordre n.

Dans ce qui va suivre, nous conserverons, pour représenter les lignes qui caractérisent une développante d'un ordre quelconque, les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans la courbe proposée ; mais, pour les distinguer, nous les affecterons de Tindice qui marque le rang de la développante.

D'après cela, nous aurons les équations suivantes :

On déduit de ces équations les coordonnées des développantes successives dans le système tangentiel inverse, l'exposant affectant le signe / indiquant une intégration multiple marquée par le nombre d'unités contenues dans cet exposant :

(Ta —

Side] 4- bsy

Si^dt -f- b,

:^,=i: Il aJe J ^bx — b

l I arfej -hbi — bit-h-bi^;

Si l'on pose, pour abréger.

1*2*0» • > fw

Il6 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS STSTtWES, ETC.

les coordonnées de la développante de Tordre n -h i seront

r„=: Jl „+, = (— i)

ViH-l

rF„(6)-i-( Tc^rfeV^'l^én;

l'équation élémentaire de la développante (n -h i) sera donc

dO'n+l dZn+X

ft„-4-(-l)«-*-

Les coordonnées rectangles de la développante de Tordre (/1-+-I) s'obtiennent de la manière suivante. Concevons la ligne polygonale formée par la suite des rayons de courbure, depuis ^1 jusqu'à ifl„+i, et projetons cette ligne polygonale sur deux axes dont l'un coïnciderait avec l'axe des X, et dont l'autre serait la normale à l'origine à la courbe proposée. Si Xy y sont les coordonnées du point pris sur la courbe et ^Th+i, yn^\ les coordonnées correspondantes de la développante (n -h i)'*'"', on aura les équations

(4) oTn^., — ^r^\ ^+, sine*, j„+, ~7~A JIa+, cose*,

le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs de A*, depuis o jusqu'à n ; or on a les relations

sinen =^ sin ( — i- £„, ) — cose«-i,

cose» = cos ( — h £«, j = — Sine,,-, ;

les deux équations (4) s'écriront donc sous l'une des deux formes suivantes, suivant que les développements seront