Problème VI. — Étant donnée la courbe -r- zn- ^, trouver
ae
ses développantes obliques sous l'angle a.
Équations tangentielles de la développante. — Les données sont :
(i) -j- ^ ^, ûr-consl.
at
Les équations (i) du n"* 62 donnent, dans le cas actuel, les relations
dr
{2) de^=:de, rr^Rsina, -; rcota-f-èRr o.
Intégrant l'équation élémentaire de la courbe des pôles, ainsi que réquation différentielle précédente, on obtient les coordonnées
— / ^rfe, r: £•'"*•( r.— I âiE- '''''" de \.
Tangentes à la développante oblique. — Les équations précédentes font connaître r correspondant à un point quelconque de la courbe des pôles. La droite faisant un angle a avec r et passant par l'extrémité de catte ligne est la tangente à la développante oblique sous l'angle a.
Rayon de courbure à la développante oblique. — La projeclion du rayon de courbure sur le rayon langentiel est égale a ce rayon. Donc les différentes développantes obliques passant par un même point ont en ce point des centres de courbure situés sur la normale au point correspondant de la ligne des pôles.
Rayon de courbure de la développée de la développante oblique. — L'équation différentielle en r peut s'écrire sous la
forme
^r:Rcosa — R'sina.
I20 LIVRE I. — COURBES RArPOBTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
Donc la perpendiculaire [Jig. 17) au rayon de courbure d'une courbe, menée par le centre de courbure, rencontre la
Fig. 17.
normale à la développée de la développante oblique de celle courbe, au centre de courbure de celle développée. De plus ce centre de courbure esl situé sur la ligne symétrique du rayon langenliel par rapport au rayon de courbure de la développante oblique.
Rectification de la développante. — La deuxième des équations (i) du n<» 62 s'intègre immédiatement, et Ton obtient la relation
r— r„ -i- ((7 — <7u)=: çosa[s — 5o).
Soit (y?^. 18) BoB l'arc (o- -- <7o), CoC l'arc s — s^y BoCo égal
FiiT. 18.
à r», BC égal à r. Si nous développons l'arc C»C sur la tangente
