CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

au point C*, de sorte que CoCi égale cet arc, et qu*on achève le parallélogramme ACo Cl Ai et le rectangle Ai DECi par la condition que A, Cl soit égal à r, on a

ACo — BoCo — r — To = AB, ;

par la nature de la figure, on a

ACo=.DE, donc AD=rCoE;

conséquemment

ABo -h BoD-^ (5 — So)cosa, donc

Ppl) -+.(/• — To) = (5 — 5o)cosrt; donc

BoD = (o- — Co).

De là on déduit la construction suivante :

Construction. — Développez l'arc (a — o"o) *w ^^ tangente à l'origine; à la suite de cet arc développé portez une Iongueur égale à r; à l'extrémité de cette longueur élevez une perpendiculaire^ et de l'extrémité de r» menez une oblique sous r angle a : la perpendiculaire déterminera sur cette oblique une longueur égale as — s^, arc de la développante oblique»

L*arc s s'exprime analytiquement en fonction de e. En effet, si les origines des ^rcs 5 et c correspondent à la valeur nulle de e, on aura

{^) scosa~~-r,-^ I Jlc^e -h E'^^^'/'n — / JlE-'^-^^-rfej.

Il suffit donc que la courbe 0- soit rectifiable pour que sa développante oblique le soit.

71. Application. — Développantes obliques du cercle sous l'angle a. — Soit m le rayon du cercle, son équation élémentaire sera

122 LIVRE I. COIIllBES RAPPORTÉLS A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

La seconde des équations (2) du numéro précédent devient

(2) rcoia -f- /w - o,

dont l'intégrale^ en représentant par 60 cota la constante introduite par l'intégration, prend la forme

(3) rcoiar- m -4- E^'-'a >'*»*";

on a donc, par suite de la première des équations (2) du numéro précédent, la relation

,,, ds r m i7(t-s)coiii

as sina ces a cosa

qui est l'équation élémentaire de la développante oblique du cercle.

De là résulte que, si l'on intègre l'équation (i) et qu'on représente par Co la constante introduite par l'intégration, l'équation

(5) 0- — o-^r- me

et l'équation (3) donneront les deux coordonnées tangentielles de la développante oblique du cercle.

On obtient la rectification de cette développante en intégrant l'équation (4); or, si l'on représente par j« la constante introduite par l'intégration, on trouve l'équation

(6) (5— -^ojcosa — me -4- tangaE('-'«>«****. .

Coordonnées cartésiennes de la développante oblique. — Pour abréger, écrivons l'équation (4) sous la forme suivante :

Si l'on remarque que l'on a les relations

dx dr

-— -zzzcose, -r =::sine,

as ds