CHAPITRE lY. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC
et qu'on ait égard à la valeur de ds donnée par Téquation (4)> on obtiendra deux équations différentielles qui donneront dx et dy en fonction de e. Si Ton intègre ces deux équations et qu'on représente par x^^y^ les constantes introduites par Tintégration, on trouve les deux relations
t x — x^— -"j-— • n sin e -f- 1 V ^" + >: I cose,
j — j. H j—- :-— ncose
Il résulte de là que, si Ton représente par p la distance d'un point de la courbe à un point dont les coordonnées sont x^y /,, et par l'angle que p fait avec l'axe fixe que l'on obtient en égalant à zéro le premier membre de la seconde des équations (7), on a les deux équations suivantes :
J ^ (/?E*' -4- n) cose -^n/r sine
( ^ ^ (/>£*•-+- n) sine — n/r cose'
lesquelles font connaître les coordonnées polaires d'un point quelconque de la courbe en fonction de la variable e.
On aurait l'équation de la courbe dans ce système de coordonnées, en prenant la valeur de e en fonction de p dans la première équation, ce qui est possible, et en la portant à la place de e dans la seconde.
72. Problème VII. — Trouver les développantes obliques successives d'une courbe -y 1^ A.
de
Si l'on prend la développante oblique de la développante oblique d'une courbe, on a la développante oblique du second ordre de celte courbe. Généralement, si l'on prend la développante oblique de la développante oblique de l'ordre n — i d'une courbe, on a la développante oblique de l'ordre n de cette courbe.
1^4 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DITERS SVSTÈHES, ETC.
Nous convenons de représenter par ^, r« le rayon de courbure et le rayon de courbure oblique sous Tangle a de la développante oblique a. d'une courbe o-, dont le rayon de courbure est ^; par ^«p, r«p le rayon de courbure et le rayon de courbure oblique de la développante oblique <7«p9 sous l'angle (3, de la courbe a-.» et ainsi de suite.
Développantes obliques du second ordre. — On a les formules
dr 1 /« :<:R«sina, -p — r.cola H- ^ rz:= o;
( r«^ -^«iiSinj3, -^ — raftCOtû -h -^- =o.
Ovy si l'on ajoute les deux équations différentielles, après avoir multiplié la première par Tindéterminée X, on aura réquation
de " ~
— (Xcoia : — I Ta — col5r«ft -hX^ — o.
\ sina/ ^ ^
Cette équation rentrera dans la première §i Ton pose la condition suivante
(3) Xcota — -^^ — >cot(3 ou bien X - -r ^^""^
sina sin (j3 — «)
et réquation (2) devient
(2') lL\^^lL£«L)cot(3(Xr,-+-rap)+X,R = o.
Il suffit de poser
X/'a-f-r„^— -Xr^
pour transformer réquation précédente en la suivante : (4) -^-coi^r^^-^r :o,
