CHAPITRE IT. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

qui est l'équation différentielle d'une développante oblique du

premier ordre sous l'angle p de la courbe -7- = ^.

Si l'on remplace X par sa valeur dans la relation précédente, on a la relation

^ ^ sin(3 "■ sin(a - P) "^ sin((3 - a) ~" *^*

De cette expression nous tirons les propositions suivantes :

Le rayon tangentiel de la développante seconde oblique de la courbe a sous l'angle a et sous l'angle p, compté sur la tangente à la courbe c., est une fonction linéaire des rayons tangentiels des développantes obliques du premier ordre de la courbe o", la première étant prise sous l'angle a, et la seconde sous l'angle (3, ces deux rayons étant comptés sur la tangente à la courbe o*.

Si l'on prenait la développante oblique sous l'angle a de la

développante oblique sous l'angle (3 de la courbe -r- = ^, on

trouverait

^ ^ sina sin(a~P) sin((3 — a)~ ^'

On en tire les conséquences suivantes :

I** Le rayon de courbure ^p étant une fonction symétrique par rapport à a et (3, cette fonction ne change pas quand on change a en p, et réciproquement; donc on a la relation

(7), c4l,pzr^%,.

Donc 51 Von prend deux développantes obliques d'une courbe, la première sous l'angle « et la seconde sous l'angle j3, le lieu des intersections des tangentes en des points correspondants de ces deux développantes sera la développante oblique sous V angle ^de la première, et la développante oblique sous l'angle oc de la seconde.

7!^ Les relations précédentes peuvent s'écrire sous la forme

sin(3 sina sin{a — j3)

Donc la différence des rayons tangentiels rp et r. de deux développantes obliques du premier ordre sous l'angle a et p, et les deux rayons tangentiels du second ordre correspondants y r«p, rp«, forment un triangle, les angles opposés à ces côtés étant Cf. — ^9 ^ et a, ou des suppléments de ces angles.

3° Ce triangle étant déterminé quand on connaît trois de ses éléments parmi lesquels un côté, on déduit cette proposition :

Une développante oblique du second ordre relative à deux angles se trouve déterminée quand on connaît deux déi/eloppantes obliques du premier ordre relatives chacune à chacun de ces angles; et réciproquement.

Cette détermination, au point de vue géométrique» donne la construction facile d'un point de la courbe, de sa tangente, de son rayon de courbure; et, au point de vue analytique, elle donne les formules les plus simples et les plus symétriques, représentant les intégrales des équations différentielles simultanées, qui se rapportent à la question des développantes obliques du second ordre. En effet ces intégrales sont, d'après le n'^TO, E étant la base des logarithmes népériens

sm((i-a) V Jo /

Coordonnées tangentielles. — Si aux dernières formules on joint les valeurs de CaCosa, (jpCos(3 obtenues par la dernière formule du n° 70, au moyen du changement de s en o-« ou o-p, et de a en <x ou p, on aura les coordonnées tangentielles de la développante oblique seconde rapportée soit à la développante oblique première sous l'angle <x, soit à la développante

CnAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. 1 27

oblique première sous l'angle (3. La valeur de r^^ fait connaître le rayon de courbure de celle développante oblique seconde. Rectification de la développante oblique seconde, — On obtiendra comme au n"* Si les équations

c — (o") "" r«~(ra)H-rc7« — ((7,)jC0Sa,

Cr. — ((7a) - - Ta^ — (Ta?) "+- [Ca? ^ [t^^]] COS (3,

' ']ff -fer) i.[aa^-(a.^)]sin(aH-(3)

( — [^«?— («^a? ] sin a sin (3 4- {oa%— (<Xa?)] cos p cosa,

desquelles on déduit la construction suivante :

Développez l'arc o* — (o*) sur la tangente à l'origine de l'arc, et portez à la suite le rayon r.; à l'extrémité de{r^) menez une oblique formant avec cette ligne un angle a, et à l'extrémité de r« une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de l'oblique; à la suite de la longueur interceptée, portez un rayon égal à r^^'y à l'extrémité de ( r^^), menez une oblique sous V angle j3, et à V extrémité de r«p, élevez une perpendieulaire, elle, intercepte sur cette oblique la longueur c.^ — («Xap).

Dans cette construction, la longueur o-.^— -((J«p) est indépendante de Tordre dans lequel on fait intervenir les angles a, (3, pourvu que les rayons obliques des développantes obliques qui servent à cette construction satisfassent à la relation que nous avons précédemment établie

sina sin(a — (3) * sin(p — a)

L'arc <7a? — (c'a?) s'exprimerait analytiquement au moyen de la formule

(9) ^«? — ( ^«?; - / ^a? dt n^ -ji-- / r.? rfs,

dans laquelle on remplacerait r«p par sa valeur donnée par Véquation (Ç^") en fonction de e.

Généralement la formule (5) qui donne la valeur de R, dans le n* 54 devient, par Tiniroduction de la notation nou-

velle,

(lo) ^ap = sinasin(3a"4-sin(a-i-(3)^'-+-cosacos(3a.

Donc, si deux développantes obliques secondes, l'une sous les angles a, (3, l'autre sous les angles (3 et a, ont un point commun, et en ce point une tangente commune, elles coïncideront dans toute leur étendue.

73. Développantes obliques du troisième ordre et des ordres supérieurs. — On déduil facilement de ce qui précède les théorèmes suivants {fig. 19) :

\^ Si Von prend trois développantes obliques d'une courbe déterminée, sous les angles a, (3, y, les lieux des intersections des tangentes prises deux à deux en des points correspond dants seront trois développantes obliques secondes o"»?, o'pt* ^t«» les tangentes en des points correspondants à ces trois développantes concourront en un même point, et le lieu de leurs intersections sera une développante troisième de la courbe proposée sous les angles oc, ^, y.

Ce liiéorème résulte de ce que la développante troisième est unique pour une seule et même détermination des trois constantes de rintégrale de l'équation différentielle du troisième ordre de cette courbe. On peut aussi le démontrer géométriquement; en effet, dans la /tg. 19, la ligne horizontale est la tangente à la courbe 0-, coupée sous les angles a, (3, y par les tangentes aux points correspondants des trois développantes obliques o-«, 7^, a^ ; la droite qui forme avec les deux premières,

CHAPITRK lY. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. I29

en iear point d'intersection, des angles égaux à (3 et à a egl la langente à la développante oblique seconde o-«^ ; on trouve de la même manière les tangentes aux développantes obliques secondes o-p^» o-f.; or, en remarquant que les intersections des tangentes aux points correspondants des développantes du second ordre doivent se trouver à la fois sur deux tangentes et sur le cercle passant par les trois points correspondants des trois développantes du second ordre, comme cela résulte de l'évaluation des angles, il faut que ces trois intersections se confondent en une seule.

2" Généralement, si Von prend n développantes obliques du

premier ordre sous des angles différents, on aura — développantes obliques du second ordre, — ^^^ développantes obliques du troisième, et ainsi de suite; enfin une développante oblique de V ordre n. Donc les tangentes, en des points correspondants, aux n développantes obliques de l'ordre n ~ 1 concourront en un même point, et le lieu de ces inter^ sections sera la développante de l'ordre /»•

3° L'expression analytique des trois rayons tangentiels de la développante oblique du troisième ordre sera donnée par les relations

___r^__ r^. — Ta, rp^, r^g — r^p siny sin(y-— a) sina sin(a — (3)

sin|3 ~~ sin(P — y)'

sina sînS

^•^ï "" ''" sin(a-P)sin(a — y) "^ ''^sin((3 — a) sin(^ — y)

siny

^ sin{y — a)sin(y — (3)

On trouvera, de même, pour la développante oblique du quatrième ordre sous les angles a, |3, y, d

*^^ sind sina sin(3 siny'

l3o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

ûi __ TaSin'a

*^^ ~~ sin(a — P)sin(a — y)sin(a — ô)

r psin^P

sin((3 -a)sin(l3 — y)sin(i3~^^ô)

Ty sin*y sin(y — a)sin(y — j3)sin(y — <î)

r^sin'd sinTâ"— ajsinCd'^rsinCô"^) '

en général, pour une développante de Tordre n,

^ \ raSin"-^a

(b) «^(-P"*J-2lisin(a-(3)sin(a-yj...sin(a-/r)'

le signeN s'étendanl à tous les angles a, j3, . . ., Ar.

4* La construction pour obtenir Tare de développante oblique du deuxième ordre s'applique à la rectification de Tare de la développante oblique de Tordre n : il suffît d'opérer sur les rayons tangentiels r.py et les suivants, comme on a opéré sur r« et r«p; le segment intercepté sur la dernière oblique par la dernière perpendiculaire exprime Tare développé en ligne droite de la développante oblique de Tordre n.

Cette construction est indépendante de Tordre dans lequel on fait intervenir les angles et les rayons tangentiels correspondants, pourvu que ces rayons tangenliels satisfassent aux relations qui les lient entre eux dans chaque combinaison particulière.

5® Analytiquemenl, un arc de développante oblique de Tordre n se déduit du rayon de courbure de cette développante dont nous avons donné l'expression générale.

6** Si deux développantes obliques de Tordre n ont été obtenues de différentes manières, et qu'fen un point d'intersection elles ont un contact de Tordre n — i, elles seront identiques et se confondront en une seule et même courbe.

Coordonnées rectangles. — Concevons la ligne polygonale formée par la suite des rayons tangentiels depuis le rayon de la première développante r, jusqu'à r„ de la développante de

CHAPITEE lY. — NOUTEIXES COOIDONNÉES, ETC. l3l

Tordre n, a, ai,... y a«-i étant les angles relatifs à ces développantes, et projetons cette ligne polygonale sur deux axes qui coïncideraient avec la tangente et la normale à l'origine de la courbe donnée, x, y étant les coordonnées du point pris sur la courbe, et jr«, 7-. les coordonnées correspondant à l'extrémité du rayon r« ; on aura les deux équations

i X, — a: -— r, cose -h r, coseï -+-...-+- r,cos€»,, I j, — j" ^^ r, sine -f- r, sin e» -*-..-+- r, sin€j,-i ;

ou bien, d'une manière symbolique,

^« — ^—7 Ticose*-,, /,— 7 — \ risinei-,, I I

avec les relations

e* = e -h \ oik*

Or, dans ces formules, jt, y sont connues en fonction de €, n^ 77. Les coordonnées ar«, /•« seront donc exprimées en fonction d'une seule variable.

§ V. — Des lignes dont la courbure jouit d'une propriété