CONNUE

7fc. Problème VIII. — Étant données l'équation naturelle

d(T ds -j^

j-zzzâide la courbe des pôles, et l'équation naturelle 3^ =" ^

de la courbe, trouver l'équation de celle-ci entre les deux i variables r et e.

Remarquons que l'on a, en conservant les notations du n*'61, les relations

e — û -H e, (1) { cose=^ cosacose — sinasine,

sine= sinacose -f- ces a sine.

l32 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS STSTfeMSS» ETC.

Si l'on élimine cosa et sina de ces équations au moyen des relations ( i) du n^ 61, on aura les formules

J ds cas e — ddcose — rf(rcose), f ds sine — ûfo'Sine = rf(rsine},

et conséquemment

( rcose— /Rcos^rfe — /^coserfe, I rsin£=:/Rsinerfe— /^sinerfe,

lesquelles ne dépendent que des quadratures. On en déduit les nouvelles formules

fRs\t\edé> — f^sintdt

tange= "^ ^ -^ j-j

^ jRcosede — jê\.costde

'^^ ^ r^i:r (/Rsinerfe— /^sinerfe)»

-i-{/Rcoserfe — /^coserfe)'.

Distance des centres de courbure, — Soient A le point où le rayon langentiel touche la courbe a, B le point où il coupe la courbe f , I et J les centres de courbure correspondants, on a, suivant que l'on projette le périmètre du quadrilatère AIJB sur AI ou sur AB, les relations

* IJ c(ts JIA — R cosa — ^,

IJ sin JIA = R sin a — r,

desquelles on déduit

„. Rsina — r

tang JIA r=: )

° Rcosa — ^

ïj'— (Rcosa — ^ )*-+-( Rsino— r)'.

Or on a, avec la première des équations (4)> la relation

et par conséquent a est une fonction de e ; les deux seconds membres des deux équations précédentes sont donc deux fonctions de la variable e, ce qui résout complètement la question.

CHAPITES lY. — NOUVELLES COOR]>ONNÉES, ETC. l33

Remarques. — i*Si l'on voulait exprimer les mêmes inconnues du problème en fonction de a, il suffirait d'exprimer e et e en fonction de a au moyen de la première des équations (4) et de la relation e = a + e.

a* Il sera donc possible, lorsque les équations élémentaires de deux courbes o- et 5 seront connues, de rapporter la seconde à la première considérée 'comme lieu des pôles, et Ton aura les coordonnées tangentielles de cette courbe s dans le système employé dans le Chapitre actuel ; et, réciproquement, de rapporter la courbe a à la courbe s dans le système tangentiel du Chapitre précédent.

Ces formules font connaître ^ et r en fonction de e, ce qui est la solution complète dti problème.

Si les deux courbes sont deux cercles, l'un de rayon c et l'autre de rayon b, qu'on représente par m l'une des deux constantes d'intégration, et qu'on choisisse l'axe de manière que l'autre constante s'annule, la première équation (4) devient

,^. sine ftcose — ccose

cose 6sme — csme -T- m

de laquelle on déduit

(c — msineX cos = . j ;

on obtient donc l'expression suivante du rayon vecteur (6) r^z=[hs\ne — csine -h /ii)'4- (ccose — 6sine)\

La question peut être traitée géométriquement.

Les deux courbes (Jig. 10) sont deux cercles de rayons Si. ei R, la ligne OiXi étant la tangente au cercle B. parallèle à la ligne des centres (IF); soit ô la distance des centres; on a, en conservant les notations précédentes, les équations

IL — X = rcose = Rsine — ^sme-f-â, Y — ^=rsine=:r — Rcose -f-^cose.

l34 LITRE 1. — COURBES RAPPORTÉES A BITERS STSTKMBS, ETC.

On déduit de ces deux formules les deux suivantes :

^ — R cosa 4- S sin e, r— Rsinû -h dcose.

La première donne a en fonction de e, et conséquemment la seconde devient

r^râcose -h

/ /a— ôsine\^

Fig. 20.

75. Problème IX. — Étant donnée l'équation de lu courbe des pôles -7- == ,R, ainsi que l'équation différentielle d'une courbe entre les variables s et e de la forme

m i5 -h m,*'-f- mas"-f-. . .-h m»5('*^=F(6),

dans laquelle m^i, mi, ma, . . ., mn sont des constantes, déterminer cette seconde courbe, sous forme finie, en la rapportant aux coordonnées r et s.

Lorsque Téquation différentielle (i) aura été intégrée, la question sera ramenée au problème précédent; mais le calcul peut être conduit de la manière suivante, qui dispense de plusieurs intégrations.

Si, dans la formule (3) du numéro précédent, on pose, pour