CHAPITRE l?. — KOtVBLLES COORDOKISÉES, ETC
abréger,
(2) x = rcosÊ-t-/^cos£rfe, >-= rsine+/^sinerfe,
on obtiendra, par une suîle d'inlégralions par parties, les deux catégories de formules
a:= l -j-coserfe, jc—zsQOse-^-fsslnedey
ds . rd's . ,
ds . d
-r-smc-f
^,cose-J ^,<^osede.
de ' dé^
^^^ ds d's d's . ^ r^'*cînP//#>
cose
/d*s , Irn: \ ,
^• = 5 sine — f s cose de j
ds rd^s j
^= — -7- cose -h I -T^coseae,
Cela posé, si à partir de la seconde formule de chacune de ces deux catégories on considère successivement les équa-
sine
l36 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
tiens qui contiennent cos^ sous le signe intégral , qu'on les multiplie respectivement par
et qu'on ajoute, on aura une relation qui, par suite de Téquation dififérentielle proposée, ne contiendra que l'intégrale fF{e)cosedey et en opérant d'une manière analogue par rapport aux équations qui contiennent sine sous le signe intégral» on aura une seconde relation qui ne dépendra que de Tinté* grale/F(e)sinede, de sorte que, si l'on représente par MetN deux constantes et par X, Y deux fonctions linéaires de s et de ses dérivées, dont la composition est évidente, on aura les deux relations
Ma; -h Nj = X cose 4- Y sine -h /F(e) coserfe, Mx — l!ix = Xsine — Ycose-t-fF{e)s\nede;
or, puisque l'intégrale de l'équation (i) qui est linéaire est connue, X et Y sont fonctions de e; donc, si l'on pose
|g = tangeo, -^^ tangA,
et qu'on remplace a; et j par leurs valeurs, on aura les deux nouvelles relations
i s^M^-r- N"' [rcos(e — £o) -f-/^cos(e — e.)rfe]
\ rzr (^X> -+- YOcos(e — X) ■^f¥{e)cosede,
V^M^-T- N^[rsin(e — e,) -h fSis\n{e — t,)de] = {^X^TY')s\n{e-~'k)-^'f¥{e)s\nede,
lesquelles font connaître s et r en fonction de e, ce qui est la solution du problème.
Remarque /. — Si la courbe des pôles se réduit à un point.
CHAPITmE IV. — NOVTELLES COORBONNftBSy ETC. 187
â devient nul, et l'on obtient les deux équations suivantes :
-^ 2 v^x7^Y'[cos{e — l)f¥{e) cosede
-\-s\ïï(e — 'k)fF{e)s\nede] ''^ ' -h[fF[e)cosedeY-h[f¥{e)sïnede]';
, (sfsy^^Y^)cos{e — 'k)A-fF{e)cosede ^ cot{e — £,) =r / -^=J- — ^ — '—^
(VX'-h Y»jsin(e - l) -^- fF(e)sïnede
Remarque II. — Si le second membre de Téquation différentielle proposée est nul, ces deux dernières relations se simplifient et deviennent les deux suivantes :
{M»-4-N»)r»=X»-4-YS tang(e-e/r::=tang(c~X); celte dernière donne
£ = t9-\-e — arc tang = ^
Les applications de ce problème sont très-nombreuses.
76. Peoblèmb X. — Étant donnée la courbe des pôles, trouver la polaire telle que le rayon tangentiel soit la projection de l'ordre m de son rayon de courbure.
Les données de la question sont (0 d^ = ^' r = Rsin«a ou bien N = Rsin"-'a.
L'équation rd€=:sinads donne
de
(2) dtz:^-. ,
sm"-'a
ei, par suite, l'équation der=da-h de donne les relations sui-
l33 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES, A DIVERS SYST^ES, ETC.
vantes :
, da j sin*~'arfrt
tfo étant la valeur de a correspondante de la valeur nulle de e. La deuxième équation (i) du d"* 62 peut s'écrire sous la forme
,^^ dr - d(T
(5) -j rcoia-+- -7- =10,
de de
a ex a étant des fonctions connues de e. On a, par Tintégration de celle équation différenlielle linéaire du premier ordre, Texpression suivante de r
j cota de / /**""/ <^®*''<''
(6) r=:E^o [r,— / E ^^ Side
Si Ton joint à cette équation Téquation suivante, résultant de l'intégration de la première des équations (i), on obtient er en fonction de e
(7) a= I Side;
Jo
on aura donc les coordonnées tangenlielles (systèi;)fie inverse) de la courbe cherchée.
Le rayon de courbure est donné par la seconde des deux équations (i) proposées, de laquelle on déduit soit la construction géométrique, soii l'expression analytique de ce rayon. On déduit de l'expression de ce rayon de courbure la rectification de l'arc de la courbe cherchée, ainsi que la quadrature de celle courbe.
Les hypothèses m = o, m = i donnent les développantes et les développantes obliques de la courbe des pôles.
Considérons le cas particulier où m = 3.
