CHAPITRE IV. — NOUVELLES GOOfKDONNfiES , ETC
On a les deux équations
r=::Rsin*a, rfe^ --;
cos'a
or, si Ton opère comme au n^ 54, on trouvera
£0— €== tanga;
£« étant la constante arbitraire» la valeur de r sera
r= cota(ro— /tangarfo-);
on aura donc, en posant ^ = +'(^)> '® rayon r exprimé, soit en fonction de a, soit en fonction de e» par Tune des deux équations
r = coia [^ro + /4;'(e,- tanga) -^^^ J,
r--^['-o-/+'{e)(eo-e)rfe].
On a donc les deux coordonnées tangentielles (système inverse) de la courbe. Les valeurs de sina et de cosa sont données par les équations
sinfl=^ , 1 cosa =
Or on a T équation
, rde
as— -, — -, sma
on aura donc Tare ds exprimé soit en fonction de e, soit en fonction de a, par Tune des deux équations suivantes :
\^o — Soj
ou bien
ds=i ;— [ro-t- /tangarfo-l
sm^acosa '-''•' o j
/ cosada da \ ^ r j ^
= —, [roH-/tangarf(7].
\ sm'a cosa/ l -^ o j
l4o LITRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIYERS SYSTÈMES, ETC.
T7. Problème XI. — Trouver dans le système de coordonnées polaires la courbe dont le rayon de courbure est proportionnel à une puissance m de la normale.
On a la relation, k étant une constante,
"Km fjn
k ~ k sin"a' réquation (6^) du n*» 63, si l'on pose cot'a = z, deviendra donc
( 2 ) d[ — — - 1 H —- sin'"~*<z = o,
que l'on peut écrire sous la forme suivante
2k dr
Si l'on intègre et qu'on appelle c la constante de l'intégration, on obtient Téquation suivante :
im — 2 r
dr^ or, si dans cette équation on remplace z par sa valeur -7-7-,»
on obtient l'équation différentielle première de la courbe
dr
(4) der= -
Dans cette équation, les variables sont séparées.
^application à quelques exemples. — i" Soit m = 3, on a
, dr
cr* — r^-\ —
qui se ramène aux fonctions elliptiques.
