CHAPITRE lY. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. l4l

2* Si m z=: 2, on a

qui est de même forme que la précédente.

3*» Si m = I, la formule devient illusoire. Ce cas intéressant mérite d'être spécialement traité.

Opérons directement sur la formule (a'), nous obtenons

l'équation

, dr dezzz — , ?

qui est une différentielle binôme satisfaisant aux conditions d'intégrabilité. Pour Tintégrer, il suffit de poser

on obtient alors

dont Tintégrale, lorsqu'on y remplace u par sa valeur en fonction de r, et qu'on exprime par £« la constante d'intégration, prend la forme

/»*-• — c* sin [( A" ~ I ) ( e — e» )].

Cette équation représente une famille de courbes remarquables; il nous suffît de signaler les suivantes :

Si A" = 2, on trouve le cercle rapporté à un pôle situé sur sa circonférence; dans ce cas, on vérifie directement par la Géométrie que la normale est double du rayon de courbure.

Si A*=: — I, on trouve l'hyperbole équilatère rapportée à son centre, et l'on retrouve une propriété connue de son rayon de courbure.

Si k = if l'intégrale devient illusoire, mais l'équation différentielle conduit à l'équation de la spirale logarithmique.

l42 UTRE I. — G0UEBB8 RAPPORTtBS A DIVERS STSTIIHES, ETC.

78. ProbiAms XII. — Trouver la courbe dam le système de coordonnées polaires telle que le rayon de courbure saiùfaste à la relation

(i) Rsin'a = S,

@ étant une fonction de r.

Si Ton opère comme dans le problème précédent, on trouve réquation

Les deux membres étant des différentielles exactes, on obtient, en représentant par c' la constante arbitraire, Téquation suivante :