I -4- 2 • r dr r' J r
En y remplaçant z par sa valeur, cette équation devient
dr
(4) de--
yjc^r^^r^-^^r^j^^
dr
3r Si S := — 5> cette dernière équation prend la forme suivante.
déjà trouvée à la fin du numéro précédent :
dr (5) dQ= ""^
cV* — r^-h ^m}r^
Si Ton suppose m égal à Tunité, cette dernière équation devient
,(., cd9 \rv/3/ (6) =
Si on l'intègre et qu'on représente par 6, la constante arbi-
GHAPITRJi ir. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. l43
traire, on obtient
fsln = -J-\
arc I sin =:
v/3 laquelle, résolue par rapport à r, donne l'équation de la courbe
La question est donc complètement résolue.
§ YI. — Des courbes dêriyant de la déformation
d'une courbe donnée.
79. Problème XIII. — On développe une courbe sur une droite et Von suppose qu* après le développement les rayons de courbure sont restés perpendiculaires aux éléments correspondants de la courbe; quel est le lieu des centres de courbure après le développement?
L'analyse dont nous avons fait usage se prête avec la plus grande facilité à la solution de cet ordre de questions.
Équations de la courbe en coordonnées rectilignes. — Soient X et/ les coordonnées cartésiennes de la courbe^ on a
, X ds
OT s et jT- sont des fonctions de e (Chap. Il); Télimination de
cette variable entre les deux relations précédentes conduit donc à l'équation de la courbe.
Tangente et différentielle de l'arc. — Soient X l'angle de la tangente avec l'axe des x et dl la différentielle de l'arc> on a
N tangX=-^, ^ = ^, + ^j.
\dej
l44 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTEMES, ETC.
Rayon de courbure. — Si Ton différentie la première des équations précédentes et qu'on ait égard à la seconde, on obtient réquation
rfX ded^'^Xd^l \ Vds^ /d'sVl'
Ide' \de') ]
qui donne l'expression de la courbure de la courbe cherchée. Différentielle de l'aire, — Soif du cette différentielle, on a la relation
ds^ (4) ^"=^rf^î
elle indique que la différentielle de cette aire est le double
de la différentielle de Taire de la courbe proposée, balayée par
le rayon de courbure correspondant. Conséquemment, Taire
de la courbe proposée, limitée par deux rayons de courbure,
est la moitié de Taire de la courbe après son développement,
cette aire étant limitée par deux ordonnées correspondant à
ces rayons.
applications. — i<* Cycloïde. L'équation de cette courbe,
rapportée à son sommet et à la tangente en ce point, donne
ds 5 1=:: 2a sine, -t- = 2acose;
de
le lieu des centres de courbure après le développement de la courbe sur la tangente sera un cercle ayant pour équation
2" Spirale logarithmique. Nous avons trouvé au n? 20
m , ^ ds .
5==:7--(a'— i), -T-=^ma'i* la de
Téquation du lieu des centres de courbure après le dévelop-
